Математический анализ Примеры

$\frac{1}{(x + 1) (x + 2)}$

Этап 1

Запишем $\frac{1}{(x + 1) (x + 2)}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{1}{(x + 1) (x + 2)}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \frac{1}{(x + 1) (x + 2)} d x$

Этап 4

Запишем дробь, используя разложение на элементарные дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $A$ .

$\frac{A}{x + 1}$

Этап 4.1.2

$\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x + 2}$

Этап 4.1.3

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $(x + 1) (x + 2)$ .

$\frac{1 (x + 1) (x + 2)}{(x + 1) (x + 2)} = \frac{(A) (x + 1) (x + 2)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

Этап 4.1.4

Сократим общий множитель $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 (x + 1) (x + 2)}{(x + 1) (x + 2)} = \frac{(A) (x + 1) (x + 2)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

Этап 4.1.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1 (x + 2)}{x + 2} = \frac{(A) (x + 1) (x + 2)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

Этап 4.1.5

Сократим общий множитель $x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 (x + 2)}{x + 2} = \frac{(A) (x + 1) (x + 2)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

Этап 4.1.5.2

Перепишем это выражение.

$1 = \frac{(A) (x + 1) (x + 2)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

Этап 4.1.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.1

Сократим общий множитель $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.1.1

Сократим общий множитель.

$1 = \frac{A (x + 1) (x + 2)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

Этап 4.1.6.1.2

Разделим $(A) (x + 2)$ на $1$ .

$1 = (A) (x + 2) + \frac{(B) (x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

Этап 4.1.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$1 = A x + A \cdot 2 + \frac{(B) (x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

Этап 4.1.6.3

Перенесем $2$ влево от $A$ .

$1 = A x + 2 \cdot A + \frac{(B) (x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

Этап 4.1.6.4

Сократим общий множитель $x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.4.1

Сократим общий множитель.

$1 = A x + 2 A + \frac{(B) (x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

Этап 4.1.6.4.2

Разделим $(B) (x + 1)$ на $1$ .

$1 = A x + 2 A + (B) (x + 1)$

Этап 4.1.6.5

Применим свойство дистрибутивности.

$1 = A x + 2 A + B x + B \cdot 1$

Этап 4.1.6.6

Умножим $B$ на $1$ .

$1 = A x + 2 A + B x + B$

Этап 4.1.7

Перенесем $2 A$ .

$1 = A x + B x + 2 A + B$

Этап 4.2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$0 = A + B$

Этап 4.2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $x$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$1 = 2 A + B$

Этап 4.2.3

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$0 = A + B$

$1 = 2 A + B$

$0 = A + B$

$1 = 2 A + B$

Этап 4.3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Решим относительно $A$ в $0 = A + B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Перепишем уравнение в виде $A + B = 0$ .

$A + B = 0$

$1 = 2 A + B$

Этап 4.3.1.2

Вычтем $B$ из обеих частей уравнения.

$A = - B$

$1 = 2 A + B$

$A = - B$

$1 = 2 A + B$

Этап 4.3.2

Заменим все вхождения $A$ на $- B$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Заменим все вхождения $A$ в $1 = 2 A + B$ на $- B$ .

$1 = 2 (- B) + B$

$A = - B$

Этап 4.3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1

Упростим $2 (- B) + B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$1 = - 2 B + B$

$A = - B$

Этап 4.3.2.2.1.2

Добавим $- 2 B$ и $B$ .

$1 = - B$

$A = - B$

$1 = - B$

$A = - B$

$1 = - B$

$A = - B$

$1 = - B$

$A = - B$

Этап 4.3.3

Решим относительно $B$ в $1 = - B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Перепишем уравнение в виде $- B = 1$ .

$- B = 1$

$A = - B$

Этап 4.3.3.2

Разделим каждый член $- B = 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.2.1

Разделим каждый член $- B = 1$ на $- 1$ .

$\frac{- B}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

$A = - B$

Этап 4.3.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{B}{1} = \frac{1}{- 1}$

$A = - B$

Этап 4.3.3.2.2.2

Разделим $B$ на $1$ .

$B = \frac{1}{- 1}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{- 1}$

$A = - B$

Этап 4.3.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.2.3.1

Разделим $1$ на $- 1$ .

$B = - 1$

$A = - B$

$B = - 1$

$A = - B$

$B = - 1$

$A = - B$

$B = - 1$

$A = - B$

Этап 4.3.4

Заменим все вхождения $B$ на $- 1$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Заменим все вхождения $B$ в $A = - B$ на $- 1$ .

$A = - (- 1)$

$B = - 1$

Этап 4.3.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$A = 1$

$B = - 1$

$A = 1$

$B = - 1$

$A = 1$

$B = - 1$

Этап 4.3.5

Перечислим все решения.

$A = 1, B = - 1$

Этап 4.4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x + 2}$ значениями, найденными для $A$ и $B$ .

$\frac{1}{x + 1} + \frac{- 1}{x + 2}$

Этап 4.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int \frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x + 2} d x$

Этап 5

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \frac{1}{x + 1} d x + \int - \frac{1}{x + 2} d x$

Этап 6

Пусть $u_{1} = x + 1$ . Тогда $d u_{1} = d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть $u_{1} = x + 1$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Дифференцируем $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Этап 6.1.2

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 6.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 6.1.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 6.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 6.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{1}{x + 2} d x$

Этап 7

Интеграл $\frac{1}{u_{1}}$ по $u_{1}$ имеет вид $\ln (| u_{1} |)$ .

$\ln (| u_{1} |) + C + \int - \frac{1}{x + 2} d x$

Этап 8

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\ln (| u_{1} |) + C - \int \frac{1}{x + 2} d x$

Этап 9

Пусть $u_{2} = x + 2$ . Тогда $d u_{2} = d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Пусть $u_{2} = x + 2$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Дифференцируем $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

Этап 9.1.2

По правилу суммы производная $x + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 9.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 9.1.4

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 9.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 9.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$\ln (| u_{1} |) + C - \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 10

Интеграл $\frac{1}{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| u_{1} |) + C - (\ln (| u_{2} |) + C)$

Этап 11

Упростим.

$\ln (| u_{1} |) - \ln (| u_{2} |) + C$

Этап 12

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| u_{1} |}{| u_{2} |}) + C$

Этап 13

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x + 1$ .

$\ln (\frac{| x + 1 |}{| u_{2} |}) + C$

Этап 13.2

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x + 2$ .

$\ln (\frac{| x + 1 |}{| x + 2 |}) + C$

Этап 14

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \frac{1}{(x + 1) (x + 2)}$ .

$F (x) =$ $\ln (\frac{| x + 1 |}{| x + 2 |}) + C$