Математический анализ Примеры

$f (r) = \frac{3}{1 + r^{2}} - \sqrt[5]{r^{4}}$

Этап 1

Чтобы найти функцию $F (r)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (r)$ .

$F (r) = \int f (r) d r$

Этап 2

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (r) = \int \frac{3}{1 + r^{2}} - \sqrt[5]{r^{4}} d r$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \frac{3}{1 + r^{2}} d r + \int - \sqrt[5]{r^{4}} d r$

Этап 4

Поскольку $3$ — константа по отношению к $r$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$3 \int \frac{1}{1 + r^{2}} d r + \int - \sqrt[5]{r^{4}} d r$

Этап 5

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$3 \int \frac{1}{1^{2} + r^{2}} d r + \int - \sqrt[5]{r^{4}} d r$

Этап 6

Интеграл $\frac{1}{1^{2} + r^{2}}$ по $r$ имеет вид $\arctan (r) + C$ .

$3 (\arctan (r) + C) + \int - \sqrt[5]{r^{4}} d r$

Этап 7

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $r$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$3 (\arctan (r) + C) - \int \sqrt[5]{r^{4}} d r$

Этап 8

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[5]{r^{4}}$ в виде $r^{\frac{4}{5}}$ .

$3 (\arctan (r) + C) - \int r^{\frac{4}{5}} d r$

Этап 9

По правилу степени интеграл $r^{\frac{4}{5}}$ по $r$ имеет вид $\frac{5}{9} r^{\frac{9}{5}}$ .

$3 (\arctan (r) + C) - (\frac{5}{9} r^{\frac{9}{5}} + C)$

Этап 10

Упростим.

$3 \arctan (r) - \frac{5}{9} r^{\frac{9}{5}} + C$

Этап 11

Ответ ― первообразная функции $f (r) = \frac{3}{1 + r^{2}} - \sqrt[5]{r^{4}}$ .

$F (r) =$ $3 \arctan (r) - \frac{5}{9} r^{\frac{9}{5}} + C$