Математический анализ Примеры

$\int \frac{\sec (θ)}{\cos (θ)} d θ$

Этап 1

Выразим $\sec (θ)$ через синусы и косинусы.

$\int \frac{\frac{1}{\cos (θ)}}{\cos (θ)} d θ$

Этап 2

Перепишем $\frac{\frac{1}{\cos (θ)}}{\cos (θ)}$ в виде произведения.

$\int \frac{1}{\cos (θ)} \cdot \frac{1}{\cos (θ)} d θ$

Этап 3

Умножим $\frac{1}{\cos (θ)}$ на $\frac{1}{\cos (θ)}$ .

$\int \frac{1}{\cos (θ) \cos (θ)} d θ$

Этап 4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Возведем $\cos (θ)$ в степень $1$ .

$\int \frac{1}{\cos^{1} (θ) \cos (θ)} d θ$

Этап 4.2

Возведем $\cos (θ)$ в степень $1$ .

$\int \frac{1}{\cos^{1} (θ) \cos^{1} (θ)} d θ$

Этап 4.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int \frac{1}{{\cos (θ)}^{1 + 1}} d θ$

Этап 4.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\int \frac{1}{\cos^{2} (θ)} d θ$

Этап 5

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\int \frac{1^{2}}{\cos^{2} (θ)} d θ$

Этап 5.2

Перепишем $\frac{1^{2}}{\cos^{2} (θ)}$ в виде ${(\frac{1}{\cos (θ)})}^{2}$ .

$\int {(\frac{1}{\cos (θ)})}^{2} d θ$

Этап 6

Переведем $\frac{1}{\cos (θ)}$ в $\sec (θ)$ .

$\int \sec^{2} (θ) d θ$

Этап 7

Поскольку производная $\tan (θ)$ равна $\sec^{2} (θ)$ , интеграл $\sec^{2} (θ)$ равен $\tan (θ)$ .

$\tan (θ) + C$