Математический анализ Примеры

$\int_{- 2}^{1} (- 3 x^{\frac{8}{3}} - 5 x^{2} + 2 x - 3) d x$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$\int_{- 2}^{1} - 3 x^{\frac{8}{3}} - 5 x^{2} + 2 x - 3 d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{- 2}^{1} - 3 x^{\frac{8}{3}} d x + \int_{- 2}^{1} - 5 x^{2} d x + \int_{- 2}^{1} 2 x d x + \int_{- 2}^{1} - 3 d x$

Этап 3

Поскольку $- 3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 3$ из-под знака интеграла.

$- 3 \int_{- 2}^{1} x^{\frac{8}{3}} d x + \int_{- 2}^{1} - 5 x^{2} d x + \int_{- 2}^{1} 2 x d x + \int_{- 2}^{1} - 3 d x$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x^{\frac{8}{3}}$ по $x$ имеет вид $\frac{3}{11} x^{\frac{11}{3}}$ .

$- 3 (\frac{3}{11} x^{\frac{11}{3}}]_{- 2}^{1}) + \int_{- 2}^{1} - 5 x^{2} d x + \int_{- 2}^{1} 2 x d x + \int_{- 2}^{1} - 3 d x$

Этап 5

Объединим $\frac{3}{11}$ и $x^{\frac{11}{3}}$ .

$- 3 (\frac{3 x^{\frac{11}{3}}}{11}]_{- 2}^{1}) + \int_{- 2}^{1} - 5 x^{2} d x + \int_{- 2}^{1} 2 x d x + \int_{- 2}^{1} - 3 d x$

Этап 6

Поскольку $- 5$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 5$ из-под знака интеграла.

$- 3 (\frac{3 x^{\frac{11}{3}}}{11}]_{- 2}^{1}) - 5 \int_{- 2}^{1} x^{2} d x + \int_{- 2}^{1} 2 x d x + \int_{- 2}^{1} - 3 d x$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- 3 (\frac{3 x^{\frac{11}{3}}}{11}]_{- 2}^{1}) - 5 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 2}^{1}) + \int_{- 2}^{1} 2 x d x + \int_{- 2}^{1} - 3 d x$

Этап 8

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$- 3 (\frac{3 x^{\frac{11}{3}}}{11}]_{- 2}^{1}) - 5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{1}) + \int_{- 2}^{1} 2 x d x + \int_{- 2}^{1} - 3 d x$

Этап 9

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$- 3 (\frac{3 x^{\frac{11}{3}}}{11}]_{- 2}^{1}) - 5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{1}) + 2 \int_{- 2}^{1} x d x + \int_{- 2}^{1} - 3 d x$

Этап 10

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- 3 (\frac{3 x^{\frac{11}{3}}}{11}]_{- 2}^{1}) - 5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{1}) + 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 2}^{1}) + \int_{- 2}^{1} - 3 d x$

Этап 11

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$- 3 (\frac{3 x^{\frac{11}{3}}}{11}]_{- 2}^{1}) - 5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{1}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{1}) + \int_{- 2}^{1} - 3 d x$

Этап 12

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- 3 (\frac{3 x^{\frac{11}{3}}}{11}]_{- 2}^{1}) - 5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{1}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{1}) + - 3 x]_{- 2}^{1}$

Этап 13

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Найдем значение $\frac{3 x^{\frac{11}{3}}}{11}$ в $1$ и в $- 2$ .

$- 3 ((\frac{3 \cdot 1^{\frac{11}{3}}}{11}) - \frac{3 {(- 2)}^{\frac{11}{3}}}{11}) - 5 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{1}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{1}) + - 3 x]_{- 2}^{1}$

Этап 13.1.2

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $1$ и в $- 2$ .

$- 3 (\frac{3 \cdot 1^{\frac{11}{3}}}{11} - \frac{3 {(- 2)}^{\frac{11}{3}}}{11}) - 5 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{1}) + - 3 x]_{- 2}^{1}$

Этап 13.1.3

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $1$ и в $- 2$ .

$- 3 (\frac{3 \cdot 1^{\frac{11}{3}}}{11} - \frac{3 {(- 2)}^{\frac{11}{3}}}{11}) - 5 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + 2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + - 3 x]_{- 2}^{1}$

Этап 13.1.4

Найдем значение $- 3 x$ в $1$ и в $- 2$ .

$- 3 (\frac{3 \cdot 1^{\frac{11}{3}}}{11} - \frac{3 {(- 2)}^{\frac{11}{3}}}{11}) - 5 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 2$

Этап 13.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.5.1

Единица в любой степени равна единице.

$- 3 (\frac{3 \cdot 1}{11} - \frac{3 {(- 2)}^{\frac{11}{3}}}{11}) - 5 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 2$

Этап 13.1.5.2

Умножим $3$ на $1$ .

$- 3 (\frac{3}{11} - \frac{3 {(- 2)}^{\frac{11}{3}}}{11}) - 5 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 2$

Этап 13.1.5.3

Единица в любой степени равна единице.

$- 3 (\frac{3}{11} - \frac{3 {(- 2)}^{\frac{11}{3}}}{11}) - 5 (\frac{1}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 2$

Этап 13.1.5.4

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$- 3 (\frac{3}{11} - \frac{3 {(- 2)}^{\frac{11}{3}}}{11}) - 5 (\frac{1}{3} - \frac{- 8}{3}) + 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 2$

Этап 13.1.5.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- 3 (\frac{3}{11} - \frac{3 {(- 2)}^{\frac{11}{3}}}{11}) - 5 (\frac{1}{3} - - \frac{8}{3}) + 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 2$

Этап 13.1.5.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- 3 (\frac{3}{11} - \frac{3 {(- 2)}^{\frac{11}{3}}}{11}) - 5 (\frac{1}{3} + 1 (\frac{8}{3})) + 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 2$

Этап 13.1.5.7

Умножим $\frac{8}{3}$ на $1$ .

$- 3 (\frac{3}{11} - \frac{3 {(- 2)}^{\frac{11}{3}}}{11}) - 5 (\frac{1}{3} + \frac{8}{3}) + 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 2$

Этап 13.1.5.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$- 3 (\frac{3}{11} - \frac{3 {(- 2)}^{\frac{11}{3}}}{11}) - 5 \frac{1 + 8}{3} + 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 2$

Этап 13.1.5.9

Добавим $1$ и $8$ .

$- 3 (\frac{3}{11} - \frac{3 {(- 2)}^{\frac{11}{3}}}{11}) - 5 (\frac{9}{3}) + 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 2$

Этап 13.1.5.10

Сократим общий множитель $9$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.5.10.1

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$- 3 (\frac{3}{11} - \frac{3 {(- 2)}^{\frac{11}{3}}}{11}) - 5 \frac{3 \cdot 3}{3} + 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 2$

Этап 13.1.5.10.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.5.10.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$- 3 (\frac{3}{11} - \frac{3 {(- 2)}^{\frac{11}{3}}}{11}) - 5 \frac{3 \cdot 3}{3 (1)} + 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 2$

Этап 13.1.5.10.2.2

Сократим общий множитель.

$- 3 (\frac{3}{11} - \frac{3 {(- 2)}^{\frac{11}{3}}}{11}) - 5 \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 1} + 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 2$

Этап 13.1.5.10.2.3

Перепишем это выражение.

$- 3 (\frac{3}{11} - \frac{3 {(- 2)}^{\frac{11}{3}}}{11}) - 5 (\frac{3}{1}) + 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 2$

Этап 13.1.5.10.2.4

Разделим $3$ на $1$ .

$- 3 (\frac{3}{11} - \frac{3 {(- 2)}^{\frac{11}{3}}}{11}) - 5 \cdot 3 + 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 2$

Этап 13.1.5.11

Умножим $- 5$ на $3$ .

$- 3 (\frac{3}{11} - \frac{3 {(- 2)}^{\frac{11}{3}}}{11}) - 15 + 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 2$

Этап 13.1.5.12

Единица в любой степени равна единице.

$- 3 (\frac{3}{11} - \frac{3 {(- 2)}^{\frac{11}{3}}}{11}) - 15 + 2 (\frac{1}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 2$

Этап 13.1.5.13

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$- 3 (\frac{3}{11} - \frac{3 {(- 2)}^{\frac{11}{3}}}{11}) - 15 + 2 (\frac{1}{2} - \frac{4}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 2$

Этап 13.1.5.14

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.5.14.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$- 3 (\frac{3}{11} - \frac{3 {(- 2)}^{\frac{11}{3}}}{11}) - 15 + 2 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 2$

Этап 13.1.5.14.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.5.14.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- 3 (\frac{3}{11} - \frac{3 {(- 2)}^{\frac{11}{3}}}{11}) - 15 + 2 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 2$

Этап 13.1.5.14.2.2

Сократим общий множитель.

$- 3 (\frac{3}{11} - \frac{3 {(- 2)}^{\frac{11}{3}}}{11}) - 15 + 2 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 2$

Этап 13.1.5.14.2.3

Перепишем это выражение.

$- 3 (\frac{3}{11} - \frac{3 {(- 2)}^{\frac{11}{3}}}{11}) - 15 + 2 (\frac{1}{2} - \frac{2}{1}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 2$

Этап 13.1.5.14.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$- 3 (\frac{3}{11} - \frac{3 {(- 2)}^{\frac{11}{3}}}{11}) - 15 + 2 (\frac{1}{2} - 1 \cdot 2) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 2$

Этап 13.1.5.15

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 3 (\frac{3}{11} - \frac{3 {(- 2)}^{\frac{11}{3}}}{11}) - 15 + 2 (\frac{1}{2} - 2) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 2$

Этап 13.1.5.16

Чтобы записать $- 2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- 3 (\frac{3}{11} - \frac{3 {(- 2)}^{\frac{11}{3}}}{11}) - 15 + 2 (\frac{1}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 2$

Этап 13.1.5.17

Объединим $- 2$ и $\frac{2}{2}$ .

$- 3 (\frac{3}{11} - \frac{3 {(- 2)}^{\frac{11}{3}}}{11}) - 15 + 2 (\frac{1}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 2$

Этап 13.1.5.18

Объединим числители над общим знаменателем.

$- 3 (\frac{3}{11} - \frac{3 {(- 2)}^{\frac{11}{3}}}{11}) - 15 + 2 \frac{1 - 2 \cdot 2}{2} - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 2$

Этап 13.1.5.19

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.5.19.1

Умножим $- 2$ на $2$ .

$- 3 (\frac{3}{11} - \frac{3 {(- 2)}^{\frac{11}{3}}}{11}) - 15 + 2 \frac{1 - 4}{2} - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 2$

Этап 13.1.5.19.2

Вычтем $4$ из $1$ .

$- 3 (\frac{3}{11} - \frac{3 {(- 2)}^{\frac{11}{3}}}{11}) - 15 + 2 (\frac{- 3}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 2$

Этап 13.1.5.20

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- 3 (\frac{3}{11} - \frac{3 {(- 2)}^{\frac{11}{3}}}{11}) - 15 + 2 (- \frac{3}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 2$

Этап 13.1.5.21

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 3 (\frac{3}{11} - \frac{3 {(- 2)}^{\frac{11}{3}}}{11}) - 15 - 2 (\frac{3}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 2$

Этап 13.1.5.22

Объединим $- 2$ и $\frac{3}{2}$ .

$- 3 (\frac{3}{11} - \frac{3 {(- 2)}^{\frac{11}{3}}}{11}) - 15 + \frac{- 2 \cdot 3}{2} - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 2$

Этап 13.1.5.23

Умножим $- 2$ на $3$ .

$- 3 (\frac{3}{11} - \frac{3 {(- 2)}^{\frac{11}{3}}}{11}) - 15 + \frac{- 6}{2} - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 2$

Этап 13.1.5.24

Сократим общий множитель $- 6$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.5.24.1

Вынесем множитель $2$ из $- 6$ .

$- 3 (\frac{3}{11} - \frac{3 {(- 2)}^{\frac{11}{3}}}{11}) - 15 + \frac{2 \cdot - 3}{2} - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 2$

Этап 13.1.5.24.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.5.24.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- 3 (\frac{3}{11} - \frac{3 {(- 2)}^{\frac{11}{3}}}{11}) - 15 + \frac{2 \cdot - 3}{2 (1)} - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 2$

Этап 13.1.5.24.2.2

Сократим общий множитель.

$- 3 (\frac{3}{11} - \frac{3 {(- 2)}^{\frac{11}{3}}}{11}) - 15 + \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 1} - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 2$

Этап 13.1.5.24.2.3

Перепишем это выражение.

$- 3 (\frac{3}{11} - \frac{3 {(- 2)}^{\frac{11}{3}}}{11}) - 15 + \frac{- 3}{1} - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 2$

Этап 13.1.5.24.2.4

Разделим $- 3$ на $1$ .

$- 3 (\frac{3}{11} - \frac{3 {(- 2)}^{\frac{11}{3}}}{11}) - 15 - 3 - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 2$

Этап 13.1.5.25

Вычтем $3$ из $- 15$ .

$- 3 (\frac{3}{11} - \frac{3 {(- 2)}^{\frac{11}{3}}}{11}) - 18 - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 2$

Этап 13.1.5.26

Умножим $- 3$ на $1$ .

$- 3 (\frac{3}{11} - \frac{3 {(- 2)}^{\frac{11}{3}}}{11}) - 18 - 3 + 3 \cdot - 2$

Этап 13.1.5.27

Умножим $3$ на $- 2$ .

$- 3 (\frac{3}{11} - \frac{3 {(- 2)}^{\frac{11}{3}}}{11}) - 18 - 3 - 6$

Этап 13.1.5.28

Вычтем $6$ из $- 3$ .

$- 3 (\frac{3}{11} - \frac{3 {(- 2)}^{\frac{11}{3}}}{11}) - 18 - 9$

Этап 13.1.5.29

Вычтем $9$ из $- 18$ .

$- 3 (\frac{3}{11} - \frac{3 {(- 2)}^{\frac{11}{3}}}{11}) - 27$

Этап 13.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 3 (\frac{3}{11}) - 3 (- \frac{3 {(- 2)}^{\frac{11}{3}}}{11}) - 27$

Этап 13.2.1.2

Умножим $- 3 (\frac{3}{11})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1.2.1

Объединим $- 3$ и $\frac{3}{11}$ .

$\frac{- 3 \cdot 3}{11} - 3 (- \frac{3 {(- 2)}^{\frac{11}{3}}}{11}) - 27$

Этап 13.2.1.2.2

Умножим $- 3$ на $3$ .

$\frac{- 9}{11} - 3 (- \frac{3 {(- 2)}^{\frac{11}{3}}}{11}) - 27$

Этап 13.2.1.3

Умножим $- 3 (- \frac{3 {(- 2)}^{\frac{11}{3}}}{11})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1.3.1

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$\frac{- 9}{11} + 3 \frac{3 {(- 2)}^{\frac{11}{3}}}{11} - 27$

Этап 13.2.1.3.2

Объединим $3$ и $\frac{3 {(- 2)}^{\frac{11}{3}}}{11}$ .

$\frac{- 9}{11} + \frac{3 (3 {(- 2)}^{\frac{11}{3}})}{11} - 27$

Этап 13.2.1.3.3

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{- 9}{11} + \frac{9 {(- 2)}^{\frac{11}{3}}}{11} - 27$

Этап 13.2.1.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{9}{11} + \frac{9 {(- 2)}^{\frac{11}{3}}}{11} - 27$

Этап 13.2.2

Чтобы записать $- 27$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{11}{11}$ .

$- \frac{9}{11} - 27 \cdot \frac{11}{11} + \frac{9 {(- 2)}^{\frac{11}{3}}}{11}$

Этап 13.2.3

Объединим $- 27$ и $\frac{11}{11}$ .

$- \frac{9}{11} + \frac{- 27 \cdot 11}{11} + \frac{9 {(- 2)}^{\frac{11}{3}}}{11}$

Этап 13.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 9 - 27 \cdot 11}{11} + \frac{9 {(- 2)}^{\frac{11}{3}}}{11}$

Этап 13.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.5.1

Умножим $- 27$ на $11$ .

$\frac{- 9 - 297}{11} + \frac{9 {(- 2)}^{\frac{11}{3}}}{11}$

Этап 13.2.5.2

Вычтем $297$ из $- 9$ .

$\frac{- 306}{11} + \frac{9 {(- 2)}^{\frac{11}{3}}}{11}$

Этап 13.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{306}{11} + \frac{9 {(- 2)}^{\frac{11}{3}}}{11}$

Этап 14

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{306}{11} + \frac{9 {(- 2)}^{\frac{11}{3}}}{11}$

Десятичная форма:

$- 38.20844324 \dots$

Этап 15