Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - x}{2 + 5 x}$

Этап 1

Разделим числитель и знаменатель на $x$ в наибольшей степени в знаменателе, т. е. $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} - \frac{x}{x}}{\frac{2}{x} + \frac{5 x}{x}}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} - \frac{x}{x}}{\frac{2}{x} + \frac{5 x}{x}}$

Этап 2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} - 1 \cdot 1}{\frac{2}{x} + \frac{5 x}{x}}$

Этап 2.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} - 1}{\frac{2}{x} + \frac{5 x}{x}}$

Этап 2.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} - 1}{\frac{2}{x} + \frac{5 x}{x}}$

Этап 2.2.2

Разделим $5$ на $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} - 1}{\frac{2}{x} + 5}$

Этап 2.3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - 1}{lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} + 5}$

Этап 2.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} + 5}$

Этап 3

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x}$ стремится к $0$ .

$\frac{0 - lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} + 5}$

Этап 4

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$\frac{0 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} + 5}$

Этап 4.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{0 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} + lim_{x \to \infty} 5}$

Этап 4.3

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{0 - 1 \cdot 1}{2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to \infty} 5}$

Этап 5

$\frac{0 - 1 \cdot 1}{2 \cdot 0 + lim_{x \to \infty} 5}$

Этап 6

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем предел $5$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$\frac{0 - 1 \cdot 1}{2 \cdot 0 + 5}$

Этап 6.2

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{0 - 1}{2 \cdot 0 + 5}$

Этап 6.2.1.2

Вычтем $1$ из $0$ .

$\frac{- 1}{2 \cdot 0 + 5}$

Этап 6.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Умножим $2$ на $0$ .

$\frac{- 1}{0 + 5}$

Этап 6.2.2.2

Добавим $0$ и $5$ .

$\frac{- 1}{5}$

Этап 6.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{5}$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{1}{5}$

Десятичная форма:

$- 0.2$