Математический анализ Примеры

$\arccos (- \frac{x}{5})$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \arccos (x)$ и $g (x) = - \frac{x}{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- \frac{x}{5}$ .

$\frac{d}{d u} [\arccos (u)] \frac{d}{d x} [- \frac{x}{5}]$

Этап 1.2

Производная $\arccos (u)$ по $u$ равна $- \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{5}]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $- \frac{x}{5}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(- \frac{x}{5})}^{2}}} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{5}]$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- \frac{x}{5}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(- (\frac{x}{5}))}^{2}}} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{5}]$

Этап 2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим правило умножения к $- (\frac{x}{5})$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - ({(- 1)}^{2} {(\frac{x}{5})}^{2})}} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{5}]$

Этап 2.2.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - (1 {(\frac{x}{5})}^{2})}} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{5}]$

Этап 2.2.3

Умножим ${(\frac{x}{5})}^{2}$ на $1$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{5})}^{2}}} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{5}]$

Этап 2.3

Поскольку $- \frac{1}{5}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{x}{5}$ по $x$ равна $- \frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{5})}^{2}}} (- \frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.4

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{5})}^{2}}} (\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.4.2

Умножим $\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{5})}^{2}}}$ на $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{5})}^{2}}} (\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.4.3

Умножим $\frac{1}{5}$ на $\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{5})}^{2}}}$ .

$\frac{1}{5 \sqrt{1 - {(\frac{x}{5})}^{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{5 \sqrt{1 - {(\frac{x}{5})}^{2}}} \cdot 1$

Этап 2.6

Умножим $\frac{1}{5 \sqrt{1 - {(\frac{x}{5})}^{2}}}$ на $1$ .

$\frac{1}{5 \sqrt{1 - {(\frac{x}{5})}^{2}}}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим правило умножения к $\frac{x}{5}$ .

$\frac{1}{5 \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{5^{2}}}}$

Этап 3.2

Возведем $5$ в степень $2$ .

$\frac{1}{5 \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{25}}}$