Математический анализ Примеры

$y' = 3 x^{2}$ , $y = x^{3} - 4 + c$ , $y (0) = 5$

Этап 1

Удостоверимся, что данное решение удовлетворяет дифференциальному уравнению.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{3} - 4 + c)$

Этап 1.1.2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 1.1.3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

По правилу суммы производная $x^{3} - 4 + c$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4] + \frac{d}{d x} [c]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4] + \frac{d}{d x} [c]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4] + \frac{d}{d x} [c]$

Этап 1.1.3.3

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4$ относительно $x$ равна $0$ .

$3 x^{2} + 0 + \frac{d}{d x} [c]$

Этап 1.1.3.4

Поскольку $c$ является константой относительно $x$ , производная $c$ относительно $x$ равна $0$ .

$3 x^{2} + 0 + 0$

Этап 1.1.3.5

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.5.1

Добавим $3 x^{2}$ и $0$ .

$3 x^{2} + 0$

Этап 1.1.3.5.2

Добавим $3 x^{2}$ и $0$ .

$3 x^{2}$

Этап 1.1.4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = 3 x^{2}$

Этап 1.2

Подставим в заданное дифференциальное уравнение.

$3 x^{2} = 3 x^{2}$

Этап 1.3

Данное решение удовлетворяет заданному дифференциальному уравнению.

$y = x^{3} - 4 + c$ является решением уравнения $y' = 3 x^{2}$

Этап 2

Подставим в начальное условие.

$5 = 0^{3} - 4 + c$

Этап 3

Решим относительно $c$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $0^{3} - 4 + c = 5$ .

$0^{3} - 4 + c = 5$

Этап 3.2

Упростим $0^{3} - 4 + c$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 - 4 + c = 5$

Этап 3.2.2

Вычтем $4$ из $0$ .

$- 4 + c = 5$

Этап 3.3

Перенесем все члены без $c$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$c = 5 + 4$

Этап 3.3.2

Добавим $5$ и $4$ .

$c = 9$