Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 4} \frac{- 5 x^{2} + 21 x - 4}{24 - 6 x}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 4} - 5 x^{2} + 21 x - 4}{lim_{x \to 4} 24 - 6 x}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $4$ .

$\frac{- lim_{x \to 4} 5 x^{2} + lim_{x \to 4} 21 x - lim_{x \to 4} 4}{lim_{x \to 4} 24 - 6 x}$

Этап 1.1.2.2

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{- 5 lim_{x \to 4} x^{2} + lim_{x \to 4} 21 x - lim_{x \to 4} 4}{lim_{x \to 4} 24 - 6 x}$

Этап 1.1.2.3

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{- 5 {(lim_{x \to 4} x)}^{2} + lim_{x \to 4} 21 x - lim_{x \to 4} 4}{lim_{x \to 4} 24 - 6 x}$

Этап 1.1.2.4

Вынесем член $21$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{- 5 {(lim_{x \to 4} x)}^{2} + 21 lim_{x \to 4} x - lim_{x \to 4} 4}{lim_{x \to 4} 24 - 6 x}$

Этап 1.1.2.5

Найдем предел $4$ , который является константой по мере приближения $x$ к $4$ .

$\frac{- 5 {(lim_{x \to 4} x)}^{2} + 21 lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 4} 24 - 6 x}$

Этап 1.1.2.6

Найдем значения пределов, подставив значение $4$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.6.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $4$ для $x$ .

$\frac{- 5 \cdot 4^{2} + 21 lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 4} 24 - 6 x}$

Этап 1.1.2.6.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $4$ для $x$ .

$\frac{- 5 \cdot 4^{2} + 21 \cdot 4 - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 4} 24 - 6 x}$

Этап 1.1.2.7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.7.1.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\frac{- 5 \cdot 16 + 21 \cdot 4 - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 4} 24 - 6 x}$

Этап 1.1.2.7.1.2

Умножим $- 5$ на $16$ .

$\frac{- 80 + 21 \cdot 4 - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 4} 24 - 6 x}$

Этап 1.1.2.7.1.3

Умножим $21$ на $4$ .

$\frac{- 80 + 84 - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 4} 24 - 6 x}$

Этап 1.1.2.7.1.4

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{- 80 + 84 - 4}{lim_{x \to 4} 24 - 6 x}$

Этап 1.1.2.7.2

Добавим $- 80$ и $84$ .

$\frac{4 - 4}{lim_{x \to 4} 24 - 6 x}$

Этап 1.1.2.7.3

Вычтем $4$ из $4$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 4} 24 - 6 x}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $4$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 4} 24 - lim_{x \to 4} 6 x}$

Этап 1.1.3.1.2

Найдем предел $24$ , который является константой по мере приближения $x$ к $4$ .

$\frac{0}{24 - lim_{x \to 4} 6 x}$

Этап 1.1.3.1.3

Вынесем член $6$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{0}{24 - 6 lim_{x \to 4} x}$

Этап 1.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $4$ для $x$ .

$\frac{0}{24 - 6 \cdot 4}$

Этап 1.1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1

Умножим $- 6$ на $4$ .

$\frac{0}{24 - 24}$

Этап 1.1.3.3.2

Вычтем $24$ из $24$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 4} \frac{- 5 x^{2} + 21 x - 4}{24 - 6 x} = lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [- 5 x^{2} + 21 x - 4]}{\frac{d}{d x} [24 - 6 x]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [- 5 x^{2} + 21 x - 4]}{\frac{d}{d x} [24 - 6 x]}$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $- 5 x^{2} + 21 x - 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [21 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [21 x] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [24 - 6 x]}$

Этап 1.3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5 x^{2}$ по $x$ равна $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [21 x] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [24 - 6 x]}$

Этап 1.3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- 5 (2 x) + \frac{d}{d x} [21 x] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [24 - 6 x]}$

Этап 1.3.3.3

Умножим $2$ на $- 5$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- 10 x + \frac{d}{d x} [21 x] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [24 - 6 x]}$

Этап 1.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [21 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Поскольку $21$ является константой относительно $x$ , производная $21 x$ по $x$ равна $21 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- 10 x + 21 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [24 - 6 x]}$

Этап 1.3.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- 10 x + 21 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [24 - 6 x]}$

Этап 1.3.4.3

Умножим $21$ на $1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- 10 x + 21 + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [24 - 6 x]}$

Этап 1.3.5

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- 10 x + 21 + 0}{\frac{d}{d x} [24 - 6 x]}$

Этап 1.3.6

Добавим $- 10 x + 21$ и $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- 10 x + 21}{\frac{d}{d x} [24 - 6 x]}$

Этап 1.3.7

По правилу суммы производная $24 - 6 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [24] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- 10 x + 21}{\frac{d}{d x} [24] + \frac{d}{d x} [- 6 x]}$

Этап 1.3.8

Поскольку $24$ является константой относительно $x$ , производная $24$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- 10 x + 21}{0 + \frac{d}{d x} [- 6 x]}$

Этап 1.3.9

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.9.1

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6 x$ по $x$ равна $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- 10 x + 21}{0 - 6 \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 1.3.9.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- 10 x + 21}{0 - 6 \cdot 1}$

Этап 1.3.9.3

Умножим $- 6$ на $1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- 10 x + 21}{0 - 6}$

Этап 1.3.10

Вычтем $6$ из $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- 10 x + 21}{- 6}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем член $\frac{1}{- 6}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{- 6} lim_{x \to 4} - 10 x + 21$

Этап 2.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $4$ .

$\frac{1}{- 6} (- lim_{x \to 4} 10 x + lim_{x \to 4} 21)$

Этап 2.3

Вынесем член $10$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{- 6} (- 10 lim_{x \to 4} x + lim_{x \to 4} 21)$

Этап 2.4

Найдем предел $21$ , который является константой по мере приближения $x$ к $4$ .

$\frac{1}{- 6} (- 10 lim_{x \to 4} x + 21)$

Этап 3

Найдем предел $x$ , подставив значение $4$ для $x$ .

$\frac{1}{- 6} (- 10 \cdot 4 + 21)$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{6} (- 10 \cdot 4 + 21)$

Этап 4.2

Умножим $- 10$ на $4$ .

$- \frac{1}{6} (- 40 + 21)$

Этап 4.3

Добавим $- 40$ и $21$ .

$- \frac{1}{6} \cdot - 19$

Этап 4.4

Умножим $- \frac{1}{6} \cdot - 19$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Умножим $- 19$ на $- 1$ .

$19 (\frac{1}{6})$

Этап 4.4.2

Объединим $19$ и $\frac{1}{6}$ .

$\frac{19}{6}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{19}{6}$

Десятичная форма:

$3.1\overline{6}$