Математический анализ Примеры

$\frac{18}{\sqrt[3]{x - 2}}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x - 2}$ в виде ${(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{18}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}]$

Этап 1.2

Поскольку $18$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{18}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ по $x$ равна $18 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}]$ .

$18 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}]$

Этап 1.3

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Перепишем $\frac{1}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ в виде ${({(x - 2)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

$18 \frac{d}{d x} [{({(x - 2)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}]$

Этап 1.3.2

Перемножим экспоненты в ${({(x - 2)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$18 \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{\frac{1}{3} \cdot - 1}]$

Этап 1.3.2.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $- 1$ .

$18 \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{\frac{- 1}{3}}]$

Этап 1.3.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$18 \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{- \frac{1}{3}}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- \frac{1}{3}}$ и $g (x) = x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x - 2$ .

$18 (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 2])$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - \frac{1}{3}$ .

$18 (- \frac{1}{3} u^{- \frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 2])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x - 2$ .

$18 (- \frac{1}{3} {(x - 2)}^{- \frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 2])$

Этап 3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$18 (- \frac{1}{3} {(x - 2)}^{- \frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 2])$

Этап 4

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$18 (- \frac{1}{3} {(x - 2)}^{- \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 2])$

Этап 5

Объединим числители над общим знаменателем.

$18 (- \frac{1}{3} {(x - 2)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 2])$

Этап 6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$18 (- \frac{1}{3} {(x - 2)}^{\frac{- 1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 2])$

Этап 6.2

Вычтем $3$ из $- 1$ .

$18 (- \frac{1}{3} {(x - 2)}^{\frac{- 4}{3}} \frac{d}{d x} [x - 2])$

Этап 7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$18 (- \frac{1}{3} {(x - 2)}^{- \frac{4}{3}} \frac{d}{d x} [x - 2])$

Этап 8

Объединим ${(x - 2)}^{- \frac{4}{3}}$ и $\frac{1}{3}$ .

$18 (- \frac{{(x - 2)}^{- \frac{4}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x - 2])$

Этап 9

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Перенесем ${(x - 2)}^{- \frac{4}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$18 (- \frac{1}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [x - 2])$

Этап 9.2

Умножим $- 1$ на $18$ .

$- 18 (\frac{1}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [x - 2])$

Этап 10

Объединим $\frac{1}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$ и $- 18$ .

$\frac{- 18}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [x - 2]$

Этап 11

Вынесем множитель $3$ из $- 18$ .

$\frac{3 \cdot - 6}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [x - 2]$

Этап 12

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Вынесем множитель $3$ из $3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{3 \cdot - 6}{3 ({(x - 2)}^{\frac{4}{3}})} \frac{d}{d x} [x - 2]$

Этап 12.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cdot - 6}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [x - 2]$

Этап 12.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 6}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [x - 2]$

Этап 13

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{6}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [x - 2]$

Этап 14

По правилу суммы производная $x - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$- \frac{6}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

Этап 15

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- \frac{6}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}} (1 + \frac{d}{d x} [- 2])$

Этап 16

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$- \frac{6}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}} (1 + 0)$

Этап 17

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Добавим $1$ и $0$ .

$- \frac{6}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}} \cdot 1$

Этап 17.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- \frac{6}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$