Математический анализ Примеры

$\int \frac{1}{6 \sqrt[4]{x}} d x$

Этап 1

Поскольку $\frac{1}{6}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{6}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{6} \int \frac{1}{\sqrt[4]{x}} d x$

Этап 2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[4]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{1}{6} \int \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}} d x$

Этап 2.2

Вынесем $x^{\frac{1}{4}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\frac{1}{6} \int {(x^{\frac{1}{4}})}^{- 1} d x$

Этап 2.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{4}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{6} \int x^{\frac{1}{4} \cdot - 1} d x$

Этап 2.3.2

Объединим $\frac{1}{4}$ и $- 1$ .

$\frac{1}{6} \int x^{\frac{- 1}{4}} d x$

Этап 2.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{6} \int x^{- \frac{1}{4}} d x$

Этап 3

По правилу степени интеграл $x^{- \frac{1}{4}}$ по $x$ имеет вид $\frac{4}{3} x^{\frac{3}{4}}$ .

$\frac{1}{6} (\frac{4}{3} x^{\frac{3}{4}} + C)$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем $\frac{1}{6} (\frac{4}{3} x^{\frac{3}{4}} + C)$ в виде $\frac{1}{6} \cdot \frac{4}{3} x^{\frac{3}{4}} + C$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{4}{3} x^{\frac{3}{4}} + C$

Этап 4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Умножим $\frac{1}{6}$ на $\frac{4}{3}$ .

$\frac{4}{6 \cdot 3} x^{\frac{3}{4}} + C$

Этап 4.2.2

Умножим $6$ на $3$ .

$\frac{4}{18} x^{\frac{3}{4}} + C$

Этап 4.2.3

Сократим общий множитель $4$ и $18$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{2 (2)}{18} x^{\frac{3}{4}} + C$

Этап 4.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $18$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 9} x^{\frac{3}{4}} + C$

Этап 4.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 9} x^{\frac{3}{4}} + C$

Этап 4.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{9} x^{\frac{3}{4}} + C$