Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{4} π {(\sqrt{x})}^{2} d x$

Этап 1

Перепишем ${(\sqrt{x})}^{2}$ в виде $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{0}^{4} π {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} d x$

Этап 1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{0}^{4} π x^{\frac{1}{2} \cdot 2} d x$

Этап 1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\int_{0}^{4} π x^{\frac{2}{2}} d x$

Этап 1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Сократим общий множитель.

$\int_{0}^{4} π x^{\frac{2}{2}} d x$

Этап 1.4.2

Перепишем это выражение.

$\int_{0}^{4} π x^{1} d x$

Этап 1.5

Упростим.

$\int_{0}^{4} π x d x$

Этап 2

Поскольку $π$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $π$ из-под знака интеграла.

$π \int_{0}^{4} x d x$

Этап 3

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$π \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{4}$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$π \frac{x^{2}}{2}]_{0}^{4}$

Этап 4.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $4$ и в $0$ .

$π ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$π (\frac{16}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 4.2.2.2

Сократим общий множитель $16$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $16$ .

$π (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 4.2.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$π (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 4.2.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$π (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 4.2.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$π (\frac{8}{1} - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 4.2.2.2.2.4

Разделим $8$ на $1$ .

$π (8 - \frac{0^{2}}{2})$

Этап 4.2.2.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$π (8 - \frac{0}{2})$

Этап 4.2.2.4

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.4.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$π (8 - \frac{2 (0)}{2})$

Этап 4.2.2.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$π (8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Этап 4.2.2.4.2.2

Сократим общий множитель.

$π (8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Этап 4.2.2.4.2.3

Перепишем это выражение.

$π (8 - \frac{0}{1})$

Этап 4.2.2.4.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$π (8 - 0)$

Этап 4.2.2.5

Умножим $- 1$ на $0$ .

$π (8 + 0)$

Этап 4.2.2.6

Добавим $8$ и $0$ .

$π \cdot 8$

Этап 4.2.2.7

Перенесем $8$ влево от $π$ .

$8 π$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$8 π$

Десятичная форма:

$25.13274122 \dots$

Этап 6