Математический анализ Примеры

$\int x^{5} \sqrt{2 x^{6} + 3} d x$

Этап 1

Пусть $u = 2 x^{6} + 3$ . Тогда $d u = 12 x^{5} d x$ , следовательно $\frac{1}{12} d u = x^{5} d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = 2 x^{6} + 3$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $2 x^{6} + 3$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{6} + 3]$

Этап 1.1.2

По правилу суммы производная $2 x^{6} + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x^{6}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{6}] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x^{6}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{6}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 6$ .

$2 (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 1.1.3.3

Умножим $6$ на $2$ .

$12 x^{5} + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 1.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$12 x^{5} + 0$

Этап 1.1.4.2

Добавим $12 x^{5}$ и $0$ .

$12 x^{5}$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \sqrt{u} \frac{1}{12} d u$

Этап 2

Объединим $\sqrt{u}$ и $\frac{1}{12}$ .

$\int \frac{\sqrt{u}}{12} d u$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{12}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{12}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{12} \int \sqrt{u} d u$

Этап 4

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u}$ в виде $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{12} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Этап 5

По правилу степени интеграл $u^{\frac{1}{2}}$ по $u$ имеет вид $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{12} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем $\frac{1}{12} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ в виде $\frac{1}{12} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$\frac{1}{12} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 6.2

Перепишем $\frac{1}{12} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ в виде $\frac{1}{18} u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$\frac{1}{18} u^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 7

Заменим все вхождения $u$ на $2 x^{6} + 3$ .

$\frac{1}{18} {(2 x^{6} + 3)}^{\frac{3}{2}} + C$