Математический анализ Примеры

$y = (1 + x^{2}) \arctan (x) - x$

Этап 1

По правилу суммы производная $(1 + x^{2}) \arctan (x) - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [(1 + x^{2}) \arctan (x)] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [(1 + x^{2}) \arctan (x)] + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [(1 + x^{2}) \arctan (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = 1 + x^{2}$ и $g (x) = \arctan (x)$ .

$(1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [\arctan (x)] + \arctan (x) \frac{d}{d x} [1 + x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 2.2

Производная $\arctan (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$(1 + x^{2}) \frac{1}{1 + x^{2}} + \arctan (x) \frac{d}{d x} [1 + x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 2.3

По правилу суммы производная $1 + x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(1 + x^{2}) \frac{1}{1 + x^{2}} + \arctan (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 2.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$(1 + x^{2}) \frac{1}{1 + x^{2}} + \arctan (x) (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$(1 + x^{2}) \frac{1}{1 + x^{2}} + \arctan (x) (0 + 2 x) + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 2.6

Добавим $0$ и $2 x$ .

$(1 + x^{2}) \frac{1}{1 + x^{2}} + \arctan (x) (2 x) + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$(1 + x^{2}) \frac{1}{1 + x^{2}} + \arctan (x) (2 x) - \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(1 + x^{2}) \frac{1}{1 + x^{2}} + \arctan (x) (2 x) - 1 \cdot 1$

Этап 3.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$(1 + x^{2}) \frac{1}{1 + x^{2}} + \arctan (x) (2 x) - 1$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Изменим порядок членов.

$(1 + x^{2}) \frac{1}{1 + x^{2}} + 2 x \arctan (x) - 1$

Этап 4.2

Сократим общий множитель $1 + x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель.

$(1 + x^{2}) \frac{1}{1 + x^{2}} + 2 x \arctan (x) - 1$

Этап 4.2.2

Перепишем это выражение.

$1 + 2 x \arctan (x) - 1$

Этап 4.3

Объединим противоположные члены в $1 + 2 x \arctan (x) - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Вычтем $1$ из $1$ .

$2 x \arctan (x) + 0$

Этап 4.3.2

Добавим $2 x \arctan (x)$ и $0$ .

$2 x \arctan (x)$