Математический анализ Примеры

$2 \ln (\sec (x))$

Этап 1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 \ln (\sec (x))$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\ln (\sec (x))]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\ln (\sec (x))]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = \sec (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\sec (x)$ .

$2 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Этап 2.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$2 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $\sec (x)$ .

$2 (\frac{1}{\sec (x)} \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Этап 3

Выразим $\sec (x)$ через синусы и косинусы.

$2 (\frac{1}{\frac{1}{\cos (x)}} \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Этап 4

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$2 (1 \cos (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Этап 5

Умножим $\cos (x)$ на $1$ .

$2 (\cos (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Этап 6

Производная $\sec (x)$ по $x$ равна $\sec (x) \tan (x)$ .

$2 \cos (x) (\sec (x) \tan (x))$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Выразим через синусы и косинусы, затем сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Добавим круглые скобки.

$2 (\cos (x) \sec (x)) \tan (x)$

Этап 7.1.2

Изменим порядок $\cos (x)$ и $\sec (x)$ .

$2 (\sec (x) \cos (x)) \tan (x)$

Этап 7.1.3

Выразим $2 \cos (x) \sec (x)$ через синусы и косинусы.

$2 (\frac{1}{\cos (x)} \cos (x)) \tan (x)$

Этап 7.1.4

Сократим общие множители.

$2 \cdot 1 \tan (x)$

Этап 7.2

Умножим $2$ на $1$ .

$2 \tan (x)$

Этап 7.3

Выразим $\tan (x)$ через синусы и косинусы.

$2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 7.4

Объединим $2$ и $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 7.5

Разделим дроби.

$\frac{2}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 7.6

Переведем $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ в $\tan (x)$ .

$\frac{2}{1} \tan (x)$

Этап 7.7

Разделим $2$ на $1$ .

$2 \tan (x)$