Математический анализ Примеры

$2 \int_{1}^{2} (x^{2} + 1) d x$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$2 \int_{1}^{2} x^{2} + 1 d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$2 (\int_{1}^{2} x^{2} d x + \int_{1}^{2} d x)$

Этап 3

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$2 (\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} d x)$

Этап 4

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$2 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} d x)$

Этап 5

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$2 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2} + x]_{1}^{2})$

Этап 6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Объединим $\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}$ и $x]_{1}^{2}$ .

$2 (\frac{x^{3}}{3} + x]_{1}^{2})$

Этап 6.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3} + x$ в $2$ и в $1$ .

$2 ((\frac{2^{3}}{3} + 2) - (\frac{1^{3}}{3} + 1))$

Этап 6.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Возведем $2$ в степень $3$ .

$2 (\frac{8}{3} + 2 - (\frac{1^{3}}{3} + 1))$

Этап 6.2.2.2

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$2 (\frac{8}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3} - (\frac{1^{3}}{3} + 1))$

Этап 6.2.2.3

Объединим $2$ и $\frac{3}{3}$ .

$2 (\frac{8}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3} - (\frac{1^{3}}{3} + 1))$

Этап 6.2.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 (\frac{8 + 2 \cdot 3}{3} - (\frac{1^{3}}{3} + 1))$

Этап 6.2.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.5.1

Умножим $2$ на $3$ .

$2 (\frac{8 + 6}{3} - (\frac{1^{3}}{3} + 1))$

Этап 6.2.2.5.2

Добавим $8$ и $6$ .

$2 (\frac{14}{3} - (\frac{1^{3}}{3} + 1))$

Этап 6.2.2.6

Единица в любой степени равна единице.

$2 (\frac{14}{3} - (\frac{1}{3} + 1))$

Этап 6.2.2.7

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$2 (\frac{14}{3} - (\frac{1}{3} + \frac{3}{3}))$

Этап 6.2.2.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 (\frac{14}{3} - \frac{1 + 3}{3})$

Этап 6.2.2.9

Добавим $1$ и $3$ .

$2 (\frac{14}{3} - \frac{4}{3})$

Этап 6.2.2.10

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 \frac{14 - 4}{3}$

Этап 6.2.2.11

Вычтем $4$ из $14$ .

$2 (\frac{10}{3})$

Этап 6.2.2.12

Объединим $2$ и $\frac{10}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 10}{3}$

Этап 6.2.2.13

Умножим $2$ на $10$ .

$\frac{20}{3}$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{20}{3}$

Десятичная форма:

$6.\overline{6}$

Форма смешанных чисел:

$6 \frac{2}{3}$

Этап 8