Математический анализ Примеры

\int_{0}^{\infty} \frac{1}{4 x^{2} + 9} d x

$\int_{0}^{\infty} \frac{1}{4 x^{2} + 9} d x$

Этап 1

Запишем интеграл в виде предела, когда

t

$t$ стремится к

\infty

$\infty$ .

lim t \to \infty \int_{0}^{t} \frac{1}{4 x^{2} + 9} d x

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{1}{4 x^{2} + 9} d x$

Этап 2

Изменим порядок

4 x^{2}

$4 x^{2}$ и

9

$9$ .

lim t \to \infty \int_{0}^{t} \frac{1}{9 + 4 x^{2}} d x

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{1}{9 + 4 x^{2}} d x$

Этап 3

Вынесем множитель

4

$4$ из

9 + 4 x^{2}

$9 + 4 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель

4

$4$ из

9

$9$ .

lim t \to \infty \int_{0}^{t} \frac{1}{4 (\frac{9}{4}) + 4 x^{2}} d x

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{1}{4 (\frac{9}{4}) + 4 x^{2}} d x$

Этап 3.2

Вынесем множитель

4

$4$ из

4 x^{2}

$4 x^{2}$ .

lim t \to \infty \int_{0}^{t} \frac{1}{4 (\frac{9}{4}) + 4 (x^{2})} d x

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{1}{4 (\frac{9}{4}) + 4 (x^{2})} d x$

Этап 3.3

Вынесем множитель

$4$ из

$4 (\frac{9}{4}) + 4 (x^{2})$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{1}{4 (\frac{9}{4} + x^{2})} d x$

Этап 4

Поскольку

$\frac{1}{4}$ — константа по отношению к

$x$ , вынесем

$\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{4} \int_{0}^{t} \frac{1}{\frac{9}{4} + x^{2}} d x$

Этап 5

Перепишем

$\frac{9}{4}$ в виде

${(\frac{3}{2})}^{2}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{4} \int_{0}^{t} \frac{1}{{(\frac{3}{2})}^{2} + x^{2}} d x$

Этап 6

Интеграл

$\frac{1}{{(\frac{3}{2})}^{2} + x^{2}}$ по

$x$ имеет вид

$\frac{1}{\frac{3}{2}} \arctan (\frac{x}{\frac{3}{2}})]_{0}^{t}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{4} \frac{1}{\frac{3}{2}} \arctan (\frac{x}{\frac{3}{2}})]_{0}^{t}$

Этап 7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на

$\frac{3}{2}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{4} 1 (\frac{2}{3}) \arctan (\frac{x}{\frac{3}{2}})]_{0}^{t}$

Этап 7.1.2

Умножим

$\frac{2}{3}$ на

$1$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{4} \frac{2}{3} \arctan (\frac{x}{\frac{3}{2}})]_{0}^{t}$

Этап 7.1.3

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на

$\frac{3}{2}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{4} \frac{2}{3} \arctan (x \frac{2}{3})]_{0}^{t}$

Этап 7.1.4

Объединим

$x$ и

$\frac{2}{3}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{4} \frac{2}{3} \arctan (\frac{x \cdot 2}{3})]_{0}^{t}$

Этап 7.1.5

Перенесем

$2$ влево от

$x$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{4} \frac{2}{3} \arctan (\frac{2 \cdot x}{3})]_{0}^{t}$

Этап 7.1.6

Объединим

$\frac{2}{3}$ и

$\arctan (\frac{2 x}{3})$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{4} \frac{2 \arctan (\frac{2 x}{3})}{3}]_{0}^{t}$

Этап 7.1.7

Объединим

$\frac{1}{4}$ и

$\frac{2 \arctan (\frac{2 x}{3})}{3}]_{0}^{t}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{2 \arctan (\frac{2 x}{3})}{3}]_{0}^{t}}{4}$

Этап 7.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Найдем значение

$\frac{2 \arctan (\frac{2 x}{3})}{3}$ в

$t$ и в

$0$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{(\frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3})}{3}) - \frac{2 \arctan (\frac{2 \cdot 0}{3})}{3}}{4}$

Этап 7.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Умножим

$2$ на

$0$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3})}{3} - \frac{2 \arctan (\frac{0}{3})}{3}}{4}$

Этап 7.2.2.2

Сократим общий множитель

$0$ и

$3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.2.1

Вынесем множитель

$3$ из

$0$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3})}{3} - \frac{2 \arctan (\frac{3 (0)}{3})}{3}}{4}$

Этап 7.2.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.2.2.1

Вынесем множитель

$3$ из

$3$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3})}{3} - \frac{2 \arctan (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})}{3}}{4}$

Этап 7.2.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3})}{3} - \frac{2 \arctan (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})}{3}}{4}$

Этап 7.2.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3})}{3} - \frac{2 \arctan (\frac{0}{1})}{3}}{4}$

Этап 7.2.2.2.2.4

Разделим

$0$ на

$1$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3})}{3} - \frac{2 \arctan (0)}{3}}{4}$

Этап 7.2.2.3

Умножим

$\frac{\frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3})}{3} - \frac{2 \arctan (0)}{3}}{4}$ на

$\frac{3}{3}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{3}{3} \cdot \frac{\frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3})}{3} - \frac{2 \arctan (0)}{3}}{4}$

Этап 7.2.2.4

Объединим.

$lim_{t \to \infty} \frac{3 (\frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3})}{3} - \frac{2 \arctan (0)}{3})}{3 \cdot 4}$

Этап 7.2.2.5

Применим свойство дистрибутивности.

$lim_{t \to \infty} \frac{3 \frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3})}{3} + 3 (- \frac{2 \arctan (0)}{3})}{3 \cdot 4}$

Этап 7.2.2.6

Сократим общий множитель

$3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.6.1

Сократим общий множитель.

$lim_{t \to \infty} \frac{3 \frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3})}{3} + 3 (- \frac{2 \arctan (0)}{3})}{3 \cdot 4}$

Этап 7.2.2.6.2

Перепишем это выражение.

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3}) + 3 (- \frac{2 \arctan (0)}{3})}{3 \cdot 4}$

Этап 7.2.2.7

Умножим

$- 1$ на

$3$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3}) - 3 \frac{2 \arctan (0)}{3}}{3 \cdot 4}$

Этап 7.2.2.8

Объединим

$- 3$ и

$\frac{2 \arctan (0)}{3}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3}) + \frac{- 3 (2 \arctan (0))}{3}}{3 \cdot 4}$

Этап 7.2.2.9

Умножим

$2$ на

$- 3$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3}) + \frac{- 6 \arctan (0)}{3}}{3 \cdot 4}$

Этап 7.2.2.10

Сократим общий множитель

$- 6$ и

$3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.10.1

Вынесем множитель

$3$ из

$- 6 \arctan (0)$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3}) + \frac{3 (- 2 \arctan (0))}{3}}{3 \cdot 4}$

Этап 7.2.2.10.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.10.2.1

Вынесем множитель

$3$ из

$3$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3}) + \frac{3 (- 2 \arctan (0))}{3 (1)}}{3 \cdot 4}$

Этап 7.2.2.10.2.2

Сократим общий множитель.

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3}) + \frac{3 (- 2 \arctan (0))}{3 \cdot 1}}{3 \cdot 4}$

Этап 7.2.2.10.2.3

Перепишем это выражение.

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3}) + \frac{- 2 \arctan (0)}{1}}{3 \cdot 4}$

Этап 7.2.2.10.2.4

Разделим

$- 2 \arctan (0)$ на

$1$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3}) - 2 \arctan (0)}{3 \cdot 4}$

Этап 7.2.2.11

Умножим

$3$ на

$4$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3}) - 2 \arctan (0)}{12}$

Этап 7.2.2.12

Сократим общий множитель

$2 \arctan (\frac{2 t}{3}) - 2 \arctan (0)$ и

$12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.12.1

Вынесем множитель

$2$ из

$2 \arctan (\frac{2 t}{3})$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 (\arctan (\frac{2 t}{3})) - 2 \arctan (0)}{12}$

Этап 7.2.2.12.2

Вынесем множитель

$2$ из

$- 2 \arctan (0)$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 (\arctan (\frac{2 t}{3})) + 2 (- \arctan (0))}{12}$

Этап 7.2.2.12.3

Вынесем множитель

$2$ из

$2 (\arctan (\frac{2 t}{3})) + 2 (- \arctan (0))$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 (\arctan (\frac{2 t}{3}) - \arctan (0))}{12}$

Этап 7.2.2.12.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.12.4.1

Вынесем множитель

$2$ из

$12$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 (\arctan (\frac{2 t}{3}) - \arctan (0))}{2 (6)}$

Этап 7.2.2.12.4.2

Сократим общий множитель.

$lim_{t \to \infty} \frac{2 (\arctan (\frac{2 t}{3}) - \arctan (0))}{2 \cdot 6}$

Этап 7.2.2.12.4.3

Перепишем это выражение.

$lim_{t \to \infty} \frac{\arctan (\frac{2 t}{3}) - \arctan (0)}{6}$

Этап 8

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Вынесем член

$\frac{1}{6}$ из-под знака предела, так как он не зависит от

$t$ .

$\frac{1}{6} lim_{t \to \infty} \arctan (\frac{2 t}{3}) - \arctan (0)$

Этап 8.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении

$t$ к

$\infty$ .

$\frac{1}{6} (lim_{t \to \infty} \arctan (\frac{2 t}{3}) - lim_{t \to \infty} \arctan (0))$

Этап 8.3

Для многочлена, старший коэффициент которого положителен, предел в бесконечности равен бесконечности.

$\frac{1}{6} (\infty - lim_{t \to \infty} \arctan (0))$

Этап 8.4

Подставим

$t$ вместо

$\frac{2 t}{3}$ и устремим

$t$ к

$\infty$ , так как

$lim_{t \to \infty} \frac{2 t}{3} = \infty$ .

$\frac{1}{6} (lim_{t \to \infty} \arctan (t) - lim_{t \to \infty} \arctan (0))$

Этап 8.5

Предел, когда

$t$ стремится к

$\infty$ , равен

$\frac{π}{2}$ .

$\frac{1}{6} (\frac{π}{2} - lim_{t \to \infty} \arctan (0))$

Этап 8.6

Найдем предел

$\arctan (0)$ , который является константой по мере приближения

$t$ к

$\infty$ .

$\frac{1}{6} (\frac{π}{2} - \arctan (0))$

Этап 8.7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.7.1.1

Точное значение

$\arctan (0)$ :

$0$ .

$\frac{1}{6} (\frac{π}{2} - 0)$

Этап 8.7.1.2

Умножим

$- 1$ на

$0$ .

$\frac{1}{6} (\frac{π}{2} + 0)$

Этап 8.7.2

Добавим

$\frac{π}{2}$ и

$0$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{π}{2}$

Этап 8.7.3

Умножим

$\frac{1}{6} \cdot \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.7.3.1

Умножим

$\frac{1}{6}$ на

$\frac{π}{2}$ .

$\frac{π}{6 \cdot 2}$

Этап 8.7.3.2

Умножим

$6$ на

$2$ .

$\frac{π}{12}$

Этап 9

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{π}{12}$

Десятичная форма:

$0.26179938 \dots$