Математический анализ Примеры

$5 x (\sqrt{x} - x^{2})$

Этап 1

Запишем $5 x (\sqrt{x} - x^{2})$ в виде функции.

$f (x) = 5 x (\sqrt{x} - x^{2})$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int 5 x (\sqrt{x} - x^{2}) d x$

Этап 4

Поскольку $5$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $5$ из-под знака интеграла.

$5 \int x (\sqrt{x} - x^{2}) d x$

Этап 5

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$5 \int x (x^{\frac{1}{2}} - x^{2}) d x$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$5 \int x \cdot x^{\frac{1}{2}} + x (- x^{2}) d x$

Этап 6.2

Изменим порядок $x$ и $- 1$ .

$5 \int x \cdot x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot x \cdot x^{2} d x$

Этап 6.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$5 \int x^{1} x^{\frac{1}{2}} - 1 x \cdot x^{2} d x$

Этап 6.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$5 \int x^{1 + \frac{1}{2}} - 1 x \cdot x^{2} d x$

Этап 6.5

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$5 \int x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} - 1 x \cdot x^{2} d x$

Этап 6.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$5 \int x^{\frac{2 + 1}{2}} - 1 x \cdot x^{2} d x$

Этап 6.7

Добавим $2$ и $1$ .

$5 \int x^{\frac{3}{2}} - 1 x \cdot x^{2} d x$

Этап 6.8

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$5 \int x^{\frac{3}{2}} - (x \cdot x^{2}) d x$

Этап 6.9

Возведем $x$ в степень $1$ .

$5 \int x^{\frac{3}{2}} - (x^{1} x^{2}) d x$

Этап 6.10

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$5 \int x^{\frac{3}{2}} - x^{1 + 2} d x$

Этап 6.11

Добавим $1$ и $2$ .

$5 \int x^{\frac{3}{2}} - x^{3} d x$

Этап 6.12

Изменим порядок $x^{\frac{3}{2}}$ и $- x^{3}$ .

$5 \int - x^{3} + x^{\frac{3}{2}} d x$

Этап 7

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$5 (\int - x^{3} d x + \int x^{\frac{3}{2}} d x)$

Этап 8

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$5 (- \int x^{3} d x + \int x^{\frac{3}{2}} d x)$

Этап 9

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$5 (- (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int x^{\frac{3}{2}} d x)$

Этап 10

По правилу степени интеграл $x^{\frac{3}{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$5 (- (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C)$

Этап 11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Объединим $\frac{1}{4}$ и $x^{4}$ .

$5 (- (\frac{x^{4}}{4} + C) + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C)$

Этап 11.1.2

Объединим $\frac{2}{5}$ и $x^{\frac{5}{2}}$ .

$5 (- (\frac{x^{4}}{4} + C) + \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C)$

Этап 11.2

Упростим.

$5 (- \frac{1}{4} x^{4} + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}) + C$

Этап 12

Ответ ― первообразная функции $f (x) = 5 x (\sqrt{x} - x^{2})$ .

$F (x) =$ $5 (- \frac{1}{4} x^{4} + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}) + C$