Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{4} - 4 x^{3} + 2 x^{2} + x + 4$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $x^{4} - 4 x^{3} + 2 x^{2} + x + 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x^{3}$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$4 x^{3} - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 1.2.3

Умножим $3$ на $- 4$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{2}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 1.3.3

Умножим $2$ на $2$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 4 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 1.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 4 x + 1 + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 1.4.2

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 4 x + 1 + 0$

Этап 1.4.3

Добавим $4 x^{3} - 12 x^{2} + 4 x + 1$ и $0$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 4 x + 1$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $4 x^{3} - 12 x^{2} + 4 x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{3}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 2.2.3

Умножим $3$ на $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 12$ является константой относительно $x$ , производная $- 12 x^{2}$ по $x$ равна $- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 12 (2 x) + \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 2.3.3

Умножим $2$ на $- 12$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 24 x + \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 2.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 24 x + 4 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 24 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 2.4.3

Умножим $4$ на $1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 24 x + 4 + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 2.5

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 24 x + 4 + 0$

Этап 2.5.2

Добавим $12 x^{2} - 24 x + 4$ и $0$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 24 x + 4$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 4 x + 1 = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 4.1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x^{3}$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 4.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$4 x^{3} - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 4.1.2.3

Умножим $3$ на $- 4$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{2}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 4.1.3.3

Умножим $2$ на $2$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 4 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 4.1.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 4 x + 1 + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 4.1.4.2

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 4 x + 1 + 0$

Этап 4.1.4.3

Добавим $4 x^{3} - 12 x^{2} + 4 x + 1$ и $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 12 x^{2} + 4 x + 1$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $4 x^{3} - 12 x^{2} + 4 x + 1$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 4 x + 1$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $4 x^{3} - 12 x^{2} + 4 x + 1 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 4 x + 1 = 0$

Этап 5.2

Построим график каждой части уравнения. Решение — абсцисса (координата x) точки пересечения.

$x \approx - 0.16443609, 0.59072097, 2.57371511$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = - 0.16443609, 0.59072097, 2.57371511$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = - 0.16443609$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$12 {(- 0.16443609)}^{2} - 24 \cdot - 0.16443609 + 4$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Возведем $- 0.16443609$ в степень $2$ .

$12 \cdot 0.02703922 - 24 \cdot - 0.16443609 + 4$

Этап 9.1.2

Умножим $12$ на $0.02703922$ .

$0.32447073 - 24 \cdot - 0.16443609 + 4$

Этап 9.1.3

Умножим $- 24$ на $- 0.16443609$ .

$0.32447073 + 3.94646618 + 4$

Этап 9.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Добавим $0.32447073$ и $3.94646618$ .

$4.27093691 + 4$

Этап 9.2.2

Добавим $4.27093691$ и $4$ .

$8.27093691$

Этап 10

$x = - 0.16443609$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = - 0.16443609$ — локальный минимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = - 0.16443609$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 0.16443609$ .

$f (- 0.16443609) = {(- 0.16443609)}^{4} - 4 {(- 0.16443609)}^{3} + 2 {(- 0.16443609)}^{2} - 0.16443609 + 4$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Избавимся от скобок.

$f (- 0.16443609) = {(- 0.16443609)}^{4} - 4 {(- 0.16443609)}^{3} + 2 {(- 0.16443609)}^{2} - 0.16443609 + 4$

Этап 11.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Возведем $- 0.16443609$ в степень $4$ .

$f (- 0.16443609) = 0.00073111 - 4 {(- 0.16443609)}^{3} + 2 {(- 0.16443609)}^{2} - 0.16443609 + 4$

Этап 11.2.2.2

Возведем $- 0.16443609$ в степень $3$ .

$f (- 0.16443609) = 0.00073111 - 4 \cdot - 0.00444622 + 2 {(- 0.16443609)}^{2} - 0.16443609 + 4$

Этап 11.2.2.3

Умножим $- 4$ на $- 0.00444622$ .

$f (- 0.16443609) = 0.00073111 + 0.01778489 + 2 {(- 0.16443609)}^{2} - 0.16443609 + 4$

Этап 11.2.2.4

Возведем $- 0.16443609$ в степень $2$ .

$f (- 0.16443609) = 0.00073111 + 0.01778489 + 2 \cdot 0.02703922 - 0.16443609 + 4$

Этап 11.2.2.5

Умножим $2$ на $0.02703922$ .

$f (- 0.16443609) = 0.00073111 + 0.01778489 + 0.05407845 - 0.16443609 + 4$

Этап 11.2.3

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.1

Добавим $0.00073111$ и $0.01778489$ .

$f (- 0.16443609) = 0.01851601 + 0.05407845 - 0.16443609 + 4$

Этап 11.2.3.2

Добавим $0.01851601$ и $0.05407845$ .

$f (- 0.16443609) = 0.07259447 - 0.16443609 + 4$

Этап 11.2.3.3

Вычтем $0.16443609$ из $0.07259447$ .

$f (- 0.16443609) = - 0.09184161 + 4$

Этап 11.2.3.4

Добавим $- 0.09184161$ и $4$ .

$f (- 0.16443609) = 3.90815838$

Этап 11.2.4

Окончательный ответ: $3.90815838$ .

$y = 3.90815838$

Этап 12

Найдем вторую производную в $x = 0.59072097$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$12 {(0.59072097)}^{2} - 24 \cdot 0.59072097 + 4$

Этап 13

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Возведем $0.59072097$ в степень $2$ .

$12 \cdot 0.34895126 - 24 \cdot 0.59072097 + 4$

Этап 13.1.2

Умножим $12$ на $0.34895126$ .

$4.18741523 - 24 \cdot 0.59072097 + 4$

Этап 13.1.3

Умножим $- 24$ на $0.59072097$ .

$4.18741523 - 14.17730338 + 4$

Этап 13.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Вычтем $14.17730338$ из $4.18741523$ .

$- 9.98988814 + 4$

Этап 13.2.2

Добавим $- 9.98988814$ и $4$ .

$- 5.98988814$

Этап 14

$x = 0.59072097$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = 0.59072097$ — локальный максимум

Этап 15

Найдем значение y, если $x = 0.59072097$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0.59072097$ .

$f (0.59072097) = {(0.59072097)}^{4} - 4 {(0.59072097)}^{3} + 2 {(0.59072097)}^{2} + 0.59072097 + 4$

Этап 15.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Избавимся от скобок.

$f (0.59072097) = {(0.59072097)}^{4} - 4 {(0.59072097)}^{3} + 2 {(0.59072097)}^{2} + 0.59072097 + 4$

Этап 15.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.2.1

Возведем $0.59072097$ в степень $4$ .

$f (0.59072097) = 0.12176698 - 4 {(0.59072097)}^{3} + 2 {(0.59072097)}^{2} + 0.59072097 + 4$

Этап 15.2.2.2

Возведем $0.59072097$ в степень $3$ .

$f (0.59072097) = 0.12176698 - 4 \cdot 0.20613283 + 2 {(0.59072097)}^{2} + 0.59072097 + 4$

Этап 15.2.2.3

Умножим $- 4$ на $0.20613283$ .

$f (0.59072097) = 0.12176698 - 0.82453133 + 2 {(0.59072097)}^{2} + 0.59072097 + 4$

Этап 15.2.2.4

Возведем $0.59072097$ в степень $2$ .

$f (0.59072097) = 0.12176698 - 0.82453133 + 2 \cdot 0.34895126 + 0.59072097 + 4$

Этап 15.2.2.5

Умножим $2$ на $0.34895126$ .

$f (0.59072097) = 0.12176698 - 0.82453133 + 0.69790253 + 0.59072097 + 4$

Этап 15.2.3

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.3.1

Вычтем $0.82453133$ из $0.12176698$ .

$f (0.59072097) = - 0.70276434 + 0.69790253 + 0.59072097 + 4$

Этап 15.2.3.2

Добавим $- 0.70276434$ и $0.69790253$ .

$f (0.59072097) = - 0.0048618 + 0.59072097 + 4$

Этап 15.2.3.3

Добавим $- 0.0048618$ и $0.59072097$ .

$f (0.59072097) = 0.58585916 + 4$

Этап 15.2.3.4

Добавим $0.58585916$ и $4$ .

$f (0.59072097) = 4.58585916$

Этап 15.2.4

Окончательный ответ: $4.58585916$ .

$y = 4.58585916$

Этап 16

Найдем вторую производную в $x = 2.57371511$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$12 {(2.57371511)}^{2} - 24 \cdot 2.57371511 + 4$

Этап 17

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.1

Возведем $2.57371511$ в степень $2$ .

$12 \cdot 6.6240095 - 24 \cdot 2.57371511 + 4$

Этап 17.1.2

Умножим $12$ на $6.6240095$ .

$79.48811403 - 24 \cdot 2.57371511 + 4$

Этап 17.1.3

Умножим $- 24$ на $2.57371511$ .

$79.48811403 - 61.7691628 + 4$

Этап 17.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.2.1

Вычтем $61.7691628$ из $79.48811403$ .

$17.71895122 + 4$

Этап 17.2.2

Добавим $17.71895122$ и $4$ .

$21.71895122$

Этап 18

$x = 2.57371511$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = 2.57371511$ — локальный минимум

Этап 19

Найдем значение y, если $x = 2.57371511$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2.57371511$ .

$f (2.57371511) = {(2.57371511)}^{4} - 4 {(2.57371511)}^{3} + 2 {(2.57371511)}^{2} + 2.57371511 + 4$

Этап 19.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1

Избавимся от скобок.

$f (2.57371511) = {(2.57371511)}^{4} - 4 {(2.57371511)}^{3} + 2 {(2.57371511)}^{2} + 2.57371511 + 4$

Этап 19.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.2.1

Возведем $2.57371511$ в степень $4$ .

$f (2.57371511) = 43.87750189 - 4 {(2.57371511)}^{3} + 2 {(2.57371511)}^{2} + 2.57371511 + 4$

Этап 19.2.2.2

Возведем $2.57371511$ в степень $3$ .

$f (2.57371511) = 43.87750189 - 4 \cdot 17.04831339 + 2 {(2.57371511)}^{2} + 2.57371511 + 4$

Этап 19.2.2.3

Умножим $- 4$ на $17.04831339$ .

$f (2.57371511) = 43.87750189 - 68.19325356 + 2 {(2.57371511)}^{2} + 2.57371511 + 4$

Этап 19.2.2.4

Возведем $2.57371511$ в степень $2$ .

$f (2.57371511) = 43.87750189 - 68.19325356 + 2 \cdot 6.6240095 + 2.57371511 + 4$

Этап 19.2.2.5

Умножим $2$ на $6.6240095$ .

$f (2.57371511) = 43.87750189 - 68.19325356 + 13.248019 + 2.57371511 + 4$

Этап 19.2.3

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.3.1

Вычтем $68.19325356$ из $43.87750189$ .

$f (2.57371511) = - 24.31575167 + 13.248019 + 2.57371511 + 4$

Этап 19.2.3.2

Добавим $- 24.31575167$ и $13.248019$ .

$f (2.57371511) = - 11.06773266 + 2.57371511 + 4$

Этап 19.2.3.3

Добавим $- 11.06773266$ и $2.57371511$ .

$f (2.57371511) = - 8.49401755 + 4$

Этап 19.2.3.4

Добавим $- 8.49401755$ и $4$ .

$f (2.57371511) = - 4.49401755$

Этап 19.2.4

Окончательный ответ: $- 4.49401755$ .

$y = - 4.49401755$

Этап 20

Это локальные экстремумы $f (x) = x^{4} - 4 x^{3} + 2 x^{2} + x + 4$ .

$(- 0.16443609, 3.90815838)$ — локальный минимум

$(0.59072097, 4.58585916)$ — локальный максимум

$(2.57371511, - 4.49401755)$ — локальный минимум

Этап 21