Математический анализ Примеры

$lim_{x \to - 2} \frac{\ln (3 x + 7) - 2 x^{3}}{3 \tan (- 4 - 2 x) - 3 x^{3}}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $- 2$ .

$\frac{lim_{x \to - 2} \ln (3 x + 7) - 2 x^{3}}{lim_{x \to - 2} 3 \tan (- 4 - 2 x) - 3 x^{3}}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 2$ .

$\frac{lim_{x \to - 2} \ln (3 x + 7) - lim_{x \to - 2} 2 x^{3}}{lim_{x \to - 2} 3 \tan (- 4 - 2 x) - 3 x^{3}}$

Этап 3

Внесем предел под знак логарифма.

$\frac{\ln (lim_{x \to - 2} 3 x + 7) - lim_{x \to - 2} 2 x^{3}}{lim_{x \to - 2} 3 \tan (- 4 - 2 x) - 3 x^{3}}$

Этап 4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 2$ .

$\frac{\ln (lim_{x \to - 2} 3 x + lim_{x \to - 2} 7) - lim_{x \to - 2} 2 x^{3}}{lim_{x \to - 2} 3 \tan (- 4 - 2 x) - 3 x^{3}}$

Этап 5

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{\ln (3 lim_{x \to - 2} x + lim_{x \to - 2} 7) - lim_{x \to - 2} 2 x^{3}}{lim_{x \to - 2} 3 \tan (- 4 - 2 x) - 3 x^{3}}$

Этап 6

Найдем предел $7$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 2$ .

$\frac{\ln (3 lim_{x \to - 2} x + 7) - lim_{x \to - 2} 2 x^{3}}{lim_{x \to - 2} 3 \tan (- 4 - 2 x) - 3 x^{3}}$

Этап 7

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{\ln (3 lim_{x \to - 2} x + 7) - 2 lim_{x \to - 2} x^{3}}{lim_{x \to - 2} 3 \tan (- 4 - 2 x) - 3 x^{3}}$

Этап 8

Вынесем степень $3$ в выражении $x^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{\ln (3 lim_{x \to - 2} x + 7) - 2 {(lim_{x \to - 2} x)}^{3}}{lim_{x \to - 2} 3 \tan (- 4 - 2 x) - 3 x^{3}}$

Этап 9

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 2$ .

$\frac{\ln (3 lim_{x \to - 2} x + 7) - 2 {(lim_{x \to - 2} x)}^{3}}{lim_{x \to - 2} 3 \tan (- 4 - 2 x) - lim_{x \to - 2} 3 x^{3}}$

Этап 10

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{\ln (3 lim_{x \to - 2} x + 7) - 2 {(lim_{x \to - 2} x)}^{3}}{3 lim_{x \to - 2} \tan (- 4 - 2 x) - lim_{x \to - 2} 3 x^{3}}$

Этап 11

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку тангенс — непрерывная функция.

$\frac{\ln (3 lim_{x \to - 2} x + 7) - 2 {(lim_{x \to - 2} x)}^{3}}{3 \tan (lim_{x \to - 2} - 4 - 2 x) - lim_{x \to - 2} 3 x^{3}}$

Этап 12

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 2$ .

$\frac{\ln (3 lim_{x \to - 2} x + 7) - 2 {(lim_{x \to - 2} x)}^{3}}{3 \tan (- lim_{x \to - 2} 4 - lim_{x \to - 2} 2 x) - lim_{x \to - 2} 3 x^{3}}$

Этап 13

Найдем предел $4$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 2$ .

$\frac{\ln (3 lim_{x \to - 2} x + 7) - 2 {(lim_{x \to - 2} x)}^{3}}{3 \tan (- 1 \cdot 4 - lim_{x \to - 2} 2 x) - lim_{x \to - 2} 3 x^{3}}$

Этап 14

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{\ln (3 lim_{x \to - 2} x + 7) - 2 {(lim_{x \to - 2} x)}^{3}}{3 \tan (- 1 \cdot 4 - 1 \cdot 2 lim_{x \to - 2} x) - lim_{x \to - 2} 3 x^{3}}$

Этап 15

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{\ln (3 lim_{x \to - 2} x + 7) - 2 {(lim_{x \to - 2} x)}^{3}}{3 \tan (- 1 \cdot 4 - 1 \cdot 2 lim_{x \to - 2} x) - 3 lim_{x \to - 2} x^{3}}$

Этап 16

Вынесем степень $3$ в выражении $x^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{\ln (3 lim_{x \to - 2} x + 7) - 2 {(lim_{x \to - 2} x)}^{3}}{3 \tan (- 1 \cdot 4 - 1 \cdot 2 lim_{x \to - 2} x) - 3 {(lim_{x \to - 2} x)}^{3}}$

Этап 17

Найдем значения пределов, подставив значение $- 2$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 2$ для $x$ .

$\frac{\ln (3 \cdot - 2 + 7) - 2 {(lim_{x \to - 2} x)}^{3}}{3 \tan (- 1 \cdot 4 - 1 \cdot 2 lim_{x \to - 2} x) - 3 {(lim_{x \to - 2} x)}^{3}}$

Этап 17.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 2$ для $x$ .

$\frac{\ln (3 \cdot - 2 + 7) - 2 {(- 2)}^{3}}{3 \tan (- 1 \cdot 4 - 1 \cdot 2 lim_{x \to - 2} x) - 3 {(lim_{x \to - 2} x)}^{3}}$

Этап 17.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 2$ для $x$ .

$\frac{\ln (3 \cdot - 2 + 7) - 2 {(- 2)}^{3}}{3 \tan (- 1 \cdot 4 - 1 \cdot 2 \cdot - 2) - 3 {(lim_{x \to - 2} x)}^{3}}$

Этап 17.4

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 2$ для $x$ .

$\frac{\ln (3 \cdot - 2 + 7) - 2 {(- 2)}^{3}}{3 \tan (- 1 \cdot 4 - 1 \cdot 2 \cdot - 2) - 3 {(- 2)}^{3}}$

Этап 18

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1.1

Умножим $3$ на $- 2$ .

$\frac{\ln (- 6 + 7) - 2 {(- 2)}^{3}}{3 \tan (- 1 \cdot 4 - 1 \cdot 2 \cdot - 2) - 3 {(- 2)}^{3}}$

Этап 18.1.2

Добавим $- 6$ и $7$ .

$\frac{\ln (1) - 2 {(- 2)}^{3}}{3 \tan (- 1 \cdot 4 - 1 \cdot 2 \cdot - 2) - 3 {(- 2)}^{3}}$

Этап 18.1.3

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$\frac{0 - 2 {(- 2)}^{3}}{3 \tan (- 1 \cdot 4 - 1 \cdot 2 \cdot - 2) - 3 {(- 2)}^{3}}$

Этап 18.1.4

Умножим $- 2$ на ${(- 2)}^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1.4.1

Умножим $- 2$ на ${(- 2)}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1.4.1.1

Возведем $- 2$ в степень $1$ .

$\frac{0 + {(- 2)}^{1} {(- 2)}^{3}}{3 \tan (- 1 \cdot 4 - 1 \cdot 2 \cdot - 2) - 3 {(- 2)}^{3}}$

Этап 18.1.4.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{0 + {(- 2)}^{1 + 3}}{3 \tan (- 1 \cdot 4 - 1 \cdot 2 \cdot - 2) - 3 {(- 2)}^{3}}$

Этап 18.1.4.2

Добавим $1$ и $3$ .

$\frac{0 + {(- 2)}^{4}}{3 \tan (- 1 \cdot 4 - 1 \cdot 2 \cdot - 2) - 3 {(- 2)}^{3}}$

Этап 18.1.5

Возведем $- 2$ в степень $4$ .

$\frac{0 + 16}{3 \tan (- 1 \cdot 4 - 1 \cdot 2 \cdot - 2) - 3 {(- 2)}^{3}}$

Этап 18.1.6

Добавим $0$ и $16$ .

$\frac{16}{3 \tan (- 1 \cdot 4 - 1 \cdot 2 \cdot - 2) - 3 {(- 2)}^{3}}$

Этап 18.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.2.1.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{16}{3 \tan (- 4 - 1 \cdot 2 \cdot - 2) - 3 {(- 2)}^{3}}$

Этап 18.2.1.2

Умножим $- 1 \cdot 2 \cdot - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.2.1.2.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{16}{3 \tan (- 4 - 2 \cdot - 2) - 3 {(- 2)}^{3}}$

Этап 18.2.1.2.2

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$\frac{16}{3 \tan (- 4 + 4) - 3 {(- 2)}^{3}}$

Этап 18.2.2

Добавим $- 4$ и $4$ .

$\frac{16}{3 \tan (0) - 3 {(- 2)}^{3}}$

Этап 18.2.3

Точное значение $\tan (0)$ : $0$ .

$\frac{16}{3 \cdot 0 - 3 {(- 2)}^{3}}$

Этап 18.2.4

Умножим $3$ на $0$ .

$\frac{16}{0 - 3 {(- 2)}^{3}}$

Этап 18.2.5

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$\frac{16}{0 - 3 \cdot - 8}$

Этап 18.2.6

Умножим $- 3$ на $- 8$ .

$\frac{16}{0 + 24}$

Этап 18.2.7

Добавим $0$ и $24$ .

$\frac{16}{24}$

Этап 18.3

Сократим общий множитель $16$ и $24$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.3.1

Вынесем множитель $8$ из $16$ .

$\frac{8 (2)}{24}$

Этап 18.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.3.2.1

Вынесем множитель $8$ из $24$ .

$\frac{8 \cdot 2}{8 \cdot 3}$

Этап 18.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{8 \cdot 2}{8 \cdot 3}$

Этап 18.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{3}$