Математический анализ Примеры

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{1}{- 9 x - 3} - \frac{1}{87}}{\frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to - 10} \frac{1}{- 9 x - 3} - \frac{1}{87}}{lim_{x \to - 10} \frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 10$ .

$\frac{lim_{x \to - 10} \frac{1}{- 9 x - 3} - lim_{x \to - 10} \frac{1}{87}}{lim_{x \to - 10} \frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}}$

Этап 1.1.2.1.2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $- 10$ .

$\frac{\frac{lim_{x \to - 10} 1}{lim_{x \to - 10} - 9 x - 3} - lim_{x \to - 10} \frac{1}{87}}{lim_{x \to - 10} \frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}}$

Этап 1.1.2.1.3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 10$ .

$\frac{\frac{1}{lim_{x \to - 10} - 9 x - 3} - lim_{x \to - 10} \frac{1}{87}}{lim_{x \to - 10} \frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}}$

Этап 1.1.2.1.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 10$ .

$\frac{\frac{1}{- lim_{x \to - 10} 9 x - lim_{x \to - 10} 3} - lim_{x \to - 10} \frac{1}{87}}{lim_{x \to - 10} \frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}}$

Этап 1.1.2.1.5

Вынесем член $9$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{\frac{1}{- 9 lim_{x \to - 10} x - lim_{x \to - 10} 3} - lim_{x \to - 10} \frac{1}{87}}{lim_{x \to - 10} \frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}}$

Этап 1.1.2.1.6

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 10$ .

$\frac{\frac{1}{- 9 lim_{x \to - 10} x - 1 \cdot 3} - lim_{x \to - 10} \frac{1}{87}}{lim_{x \to - 10} \frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}}$

Этап 1.1.2.1.7

Найдем предел $\frac{1}{87}$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 10$ .

$\frac{\frac{1}{- 9 lim_{x \to - 10} x - 1 \cdot 3} - \frac{1}{87}}{lim_{x \to - 10} \frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}}$

Этап 1.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 10$ для $x$ .

$\frac{\frac{1}{- 9 \cdot - 10 - 1 \cdot 3} - \frac{1}{87}}{lim_{x \to - 10} \frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}}$

Этап 1.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1.1

Умножим $- 9$ на $- 10$ .

$\frac{\frac{1}{90 - 1 \cdot 3} - \frac{1}{87}}{lim_{x \to - 10} \frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}}$

Этап 1.1.2.3.1.2

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{\frac{1}{90 - 3} - \frac{1}{87}}{lim_{x \to - 10} \frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}}$

Этап 1.1.2.3.1.3

Вычтем $3$ из $90$ .

$\frac{\frac{1}{87} - \frac{1}{87}}{lim_{x \to - 10} \frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}}$

Этап 1.1.2.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{1 - 1}{87}}{lim_{x \to - 10} \frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}}$

Этап 1.1.2.3.3

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{\frac{0}{87}}{lim_{x \to - 10} \frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}}$

Этап 1.1.2.3.4

Разделим $0$ на $87$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 10} \frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 10$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 10} \frac{1}{- 9 x - 9} - lim_{x \to - 10} \frac{1}{81}}$

Этап 1.1.3.1.2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $- 10$ .

$\frac{0}{\frac{lim_{x \to - 10} 1}{lim_{x \to - 10} - 9 x - 9} - lim_{x \to - 10} \frac{1}{81}}$

Этап 1.1.3.1.3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 10$ .

$\frac{0}{\frac{1}{lim_{x \to - 10} - 9 x - 9} - lim_{x \to - 10} \frac{1}{81}}$

Этап 1.1.3.1.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 10$ .

$\frac{0}{\frac{1}{- lim_{x \to - 10} 9 x - lim_{x \to - 10} 9} - lim_{x \to - 10} \frac{1}{81}}$

Этап 1.1.3.1.5

Вынесем член $9$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{0}{\frac{1}{- 9 lim_{x \to - 10} x - lim_{x \to - 10} 9} - lim_{x \to - 10} \frac{1}{81}}$

Этап 1.1.3.1.6

Найдем предел $9$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 10$ .

$\frac{0}{\frac{1}{- 9 lim_{x \to - 10} x - 1 \cdot 9} - lim_{x \to - 10} \frac{1}{81}}$

Этап 1.1.3.1.7

Найдем предел $\frac{1}{81}$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 10$ .

$\frac{0}{\frac{1}{- 9 lim_{x \to - 10} x - 1 \cdot 9} - \frac{1}{81}}$

Этап 1.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 10$ для $x$ .

$\frac{0}{\frac{1}{- 9 \cdot - 10 - 1 \cdot 9} - \frac{1}{81}}$

Этап 1.1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1.1

Умножим $- 9$ на $- 10$ .

$\frac{0}{\frac{1}{90 - 1 \cdot 9} - \frac{1}{81}}$

Этап 1.1.3.3.1.2

Умножим $- 1$ на $9$ .

$\frac{0}{\frac{1}{90 - 9} - \frac{1}{81}}$

Этап 1.1.3.3.1.3

Вычтем $9$ из $90$ .

$\frac{0}{\frac{1}{81} - \frac{1}{81}}$

Этап 1.1.3.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{0}{\frac{1 - 1}{81}}$

Этап 1.1.3.3.3

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0}{\frac{0}{81}}$

Этап 1.1.3.3.4

Разделим $0$ на $81$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.3.5

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{1}{- 9 x - 3} - \frac{1}{87}}{\frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}} = lim_{x \to - 10} \frac{\frac{d}{d x} [\frac{1}{- 9 x - 3} - \frac{1}{87}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{d}{d x} [\frac{1}{- 9 x - 3} - \frac{1}{87}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}]}$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $\frac{1}{- 9 x - 3} - \frac{1}{87}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{1}{- 9 x - 3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{87}]$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{d}{d x} [\frac{1}{- 9 x - 3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{87}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}]}$

Этап 1.3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{1}{- 9 x - 3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Перепишем $\frac{1}{- 9 x - 3}$ в виде ${(- 9 x - 3)}^{- 1}$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{d}{d x} [{(- 9 x - 3)}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{87}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}]}$

Этап 1.3.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = - 9 x - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- 9 x - 3$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [- 9 x - 3] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{87}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}]}$

Этап 1.3.3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{- u^{- 2} \frac{d}{d x} [- 9 x - 3] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{87}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}]}$

Этап 1.3.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $- 9 x - 3$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{- {(- 9 x - 3)}^{- 2} \frac{d}{d x} [- 9 x - 3] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{87}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}]}$

Этап 1.3.3.3

По правилу суммы производная $- 9 x - 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{- {(- 9 x - 3)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [- 3]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{87}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}]}$

Этап 1.3.3.4

Поскольку $- 9$ является константой относительно $x$ , производная $- 9 x$ по $x$ равна $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{- {(- 9 x - 3)}^{- 2} (- 9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{87}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}]}$

Этап 1.3.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{- {(- 9 x - 3)}^{- 2} (- 9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{87}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}]}$

Этап 1.3.3.6

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{- {(- 9 x - 3)}^{- 2} (- 9 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{87}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}]}$

Этап 1.3.3.7

Умножим $- 9$ на $1$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{- {(- 9 x - 3)}^{- 2} (- 9 + 0) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{87}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}]}$

Этап 1.3.3.8

Добавим $- 9$ и $0$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{- {(- 9 x - 3)}^{- 2} \cdot - 9 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{87}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}]}$

Этап 1.3.3.9

Умножим $- 9$ на $- 1$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{9 {(- 9 x - 3)}^{- 2} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{87}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}]}$

Этап 1.3.4

Поскольку $- \frac{1}{87}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{1}{87}$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{9 {(- 9 x - 3)}^{- 2} + 0}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}]}$

Этап 1.3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{9 \frac{1}{{(- 9 x - 3)}^{2}} + 0}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}]}$

Этап 1.3.5.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.2.1

Объединим $9$ и $\frac{1}{{(- 9 x - 3)}^{2}}$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{9}{{(- 9 x - 3)}^{2}} + 0}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}]}$

Этап 1.3.5.2.2

Добавим $\frac{9}{{(- 9 x - 3)}^{2}}$ и $0$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{9}{{(- 9 x - 3)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}]}$

Этап 1.3.5.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.3.1

Вынесем множитель $3$ из $- 9 x - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.3.1.1

Вынесем множитель $3$ из $- 9 x$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{9}{{(3 (- 3 x) - 3)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}]}$

Этап 1.3.5.3.1.2

Вынесем множитель $3$ из $- 3$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{9}{{(3 (- 3 x) + 3 (- 1))}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}]}$

Этап 1.3.5.3.1.3

Вынесем множитель $3$ из $3 (- 3 x) + 3 (- 1)$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{9}{{(3 (- 3 x - 1))}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}]}$

Этап 1.3.5.3.2

Применим правило умножения к $3 (- 3 x - 1)$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{9}{3^{2} {(- 3 x - 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}]}$

Этап 1.3.5.3.3

Возведем $3$ в степень $2$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{9}{9 {(- 3 x - 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}]}$

Этап 1.3.5.4

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.4.1

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{9}{9 {(- 3 x - 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}]}$

Этап 1.3.5.4.2

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{1}{{(- 3 x - 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}]}$

Этап 1.3.6

По правилу суммы производная $\frac{1}{- 9 x - 9} - \frac{1}{81}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{1}{- 9 x - 9}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{81}]$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{1}{{(- 3 x - 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{- 9 x - 9}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{81}]}$

Этап 1.3.7

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{1}{- 9 x - 9}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.7.1

Перепишем $\frac{1}{- 9 x - 9}$ в виде ${(- 9 x - 9)}^{- 1}$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{1}{{(- 3 x - 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [{(- 9 x - 9)}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{81}]}$

Этап 1.3.7.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.7.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- 9 x - 9$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{1}{{(- 3 x - 1)}^{2}}}{\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [- 9 x - 9] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{81}]}$

Этап 1.3.7.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{1}{{(- 3 x - 1)}^{2}}}{- u^{- 2} \frac{d}{d x} [- 9 x - 9] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{81}]}$

Этап 1.3.7.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $- 9 x - 9$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{1}{{(- 3 x - 1)}^{2}}}{- {(- 9 x - 9)}^{- 2} \frac{d}{d x} [- 9 x - 9] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{81}]}$

Этап 1.3.7.3

По правилу суммы производная $- 9 x - 9$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{1}{{(- 3 x - 1)}^{2}}}{- {(- 9 x - 9)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [- 9]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{81}]}$

Этап 1.3.7.4

Поскольку $- 9$ является константой относительно $x$ , производная $- 9 x$ по $x$ равна $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{1}{{(- 3 x - 1)}^{2}}}{- {(- 9 x - 9)}^{- 2} (- 9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{81}]}$

Этап 1.3.7.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{1}{{(- 3 x - 1)}^{2}}}{- {(- 9 x - 9)}^{- 2} (- 9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9]) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{81}]}$

Этап 1.3.7.6

Поскольку $- 9$ является константой относительно $x$ , производная $- 9$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{1}{{(- 3 x - 1)}^{2}}}{- {(- 9 x - 9)}^{- 2} (- 9 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{81}]}$

Этап 1.3.7.7

Умножим $- 9$ на $1$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{1}{{(- 3 x - 1)}^{2}}}{- {(- 9 x - 9)}^{- 2} (- 9 + 0) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{81}]}$

Этап 1.3.7.8

Добавим $- 9$ и $0$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{1}{{(- 3 x - 1)}^{2}}}{- {(- 9 x - 9)}^{- 2} \cdot - 9 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{81}]}$

Этап 1.3.7.9

Умножим $- 9$ на $- 1$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{1}{{(- 3 x - 1)}^{2}}}{9 {(- 9 x - 9)}^{- 2} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{81}]}$

Этап 1.3.8

Поскольку $- \frac{1}{81}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{1}{81}$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{1}{{(- 3 x - 1)}^{2}}}{9 {(- 9 x - 9)}^{- 2} + 0}$

Этап 1.3.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.9.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{1}{{(- 3 x - 1)}^{2}}}{9 \frac{1}{{(- 9 x - 9)}^{2}} + 0}$

Этап 1.3.9.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.9.2.1

Объединим $9$ и $\frac{1}{{(- 9 x - 9)}^{2}}$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{1}{{(- 3 x - 1)}^{2}}}{\frac{9}{{(- 9 x - 9)}^{2}} + 0}$

Этап 1.3.9.2.2

Добавим $\frac{9}{{(- 9 x - 9)}^{2}}$ и $0$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{1}{{(- 3 x - 1)}^{2}}}{\frac{9}{{(- 9 x - 9)}^{2}}}$

Этап 1.3.9.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.9.3.1

Вынесем множитель $9$ из $- 9 x - 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.9.3.1.1

Вынесем множитель $9$ из $- 9 x$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{1}{{(- 3 x - 1)}^{2}}}{\frac{9}{{(9 (- x) - 9)}^{2}}}$

Этап 1.3.9.3.1.2

Вынесем множитель $9$ из $- 9$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{1}{{(- 3 x - 1)}^{2}}}{\frac{9}{{(9 (- x) + 9 (- 1))}^{2}}}$

Этап 1.3.9.3.1.3

Вынесем множитель $9$ из $9 (- x) + 9 (- 1)$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{1}{{(- 3 x - 1)}^{2}}}{\frac{9}{{(9 (- x - 1))}^{2}}}$

Этап 1.3.9.3.2

Применим правило умножения к $9 (- x - 1)$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{1}{{(- 3 x - 1)}^{2}}}{\frac{9}{9^{2} {(- x - 1)}^{2}}}$

Этап 1.3.9.3.3

Возведем $9$ в степень $2$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{1}{{(- 3 x - 1)}^{2}}}{\frac{9}{81 {(- x - 1)}^{2}}}$

Этап 1.3.9.4

Сократим общий множитель $9$ и $81$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.9.4.1

Вынесем множитель $9$ из $9$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{1}{{(- 3 x - 1)}^{2}}}{\frac{9 (1)}{81 {(- x - 1)}^{2}}}$

Этап 1.3.9.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.9.4.2.1

Вынесем множитель $9$ из $81 {(- x - 1)}^{2}$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{1}{{(- 3 x - 1)}^{2}}}{\frac{9 (1)}{9 (9 {(- x - 1)}^{2})}}$

Этап 1.3.9.4.2.2

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{1}{{(- 3 x - 1)}^{2}}}{\frac{9 \cdot 1}{9 (9 {(- x - 1)}^{2})}}$

Этап 1.3.9.4.2.3

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{1}{{(- 3 x - 1)}^{2}}}{\frac{1}{9 {(- x - 1)}^{2}}}$

Этап 1.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{x \to - 10} \frac{1}{{(- 3 x - 1)}^{2}} (9 {(- x - 1)}^{2})$

Этап 1.5

Объединим множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Объединим $9$ и $\frac{1}{{(- 3 x - 1)}^{2}}$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{9}{{(- 3 x - 1)}^{2}} {(- x - 1)}^{2}$

Этап 1.5.2

Объединим $\frac{9}{{(- 3 x - 1)}^{2}}$ и ${(- x - 1)}^{2}$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{9 {(- x - 1)}^{2}}{{(- 3 x - 1)}^{2}}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем член $9$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$9 lim_{x \to - 10} \frac{{(- x - 1)}^{2}}{{(- 3 x - 1)}^{2}}$

Этап 2.2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $- 10$ .

$9 \frac{lim_{x \to - 10} {(- x - 1)}^{2}}{lim_{x \to - 10} {(- 3 x - 1)}^{2}}$

Этап 2.3

Вынесем степень $2$ в выражении ${(- x - 1)}^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$9 \frac{{(lim_{x \to - 10} - x - 1)}^{2}}{lim_{x \to - 10} {(- 3 x - 1)}^{2}}$

Этап 2.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 10$ .

$9 \frac{{(- lim_{x \to - 10} x - lim_{x \to - 10} 1)}^{2}}{lim_{x \to - 10} {(- 3 x - 1)}^{2}}$

Этап 2.5

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 10$ .

$9 \frac{{(- lim_{x \to - 10} x - 1 \cdot 1)}^{2}}{lim_{x \to - 10} {(- 3 x - 1)}^{2}}$

Этап 2.6

Вынесем степень $2$ в выражении ${(- 3 x - 1)}^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$9 \frac{{(- lim_{x \to - 10} x - 1 \cdot 1)}^{2}}{{(lim_{x \to - 10} - 3 x - 1)}^{2}}$

Этап 2.7

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 10$ .

$9 \frac{{(- lim_{x \to - 10} x - 1 \cdot 1)}^{2}}{{(- lim_{x \to - 10} 3 x - lim_{x \to - 10} 1)}^{2}}$

Этап 2.8

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$9 \frac{{(- lim_{x \to - 10} x - 1 \cdot 1)}^{2}}{{(- 3 lim_{x \to - 10} x - lim_{x \to - 10} 1)}^{2}}$

Этап 2.9

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 10$ .

$9 \frac{{(- lim_{x \to - 10} x - 1 \cdot 1)}^{2}}{{(- 3 lim_{x \to - 10} x - 1 \cdot 1)}^{2}}$

Этап 3

Найдем значения пределов, подставив значение $- 10$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 10$ для $x$ .

$9 \frac{{(10 - 1 \cdot 1)}^{2}}{{(- 3 lim_{x \to - 10} x - 1 \cdot 1)}^{2}}$

Этап 3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 10$ для $x$ .

$9 \frac{{(10 - 1 \cdot 1)}^{2}}{{(- 3 \cdot - 10 - 1 \cdot 1)}^{2}}$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$9 \frac{{(10 - 1)}^{2}}{{(- 3 \cdot - 10 - 1 \cdot 1)}^{2}}$

Этап 4.1.2

Вычтем $1$ из $10$ .

$9 \frac{9^{2}}{{(- 3 \cdot - 10 - 1 \cdot 1)}^{2}}$

Этап 4.1.3

Возведем $9$ в степень $2$ .

$9 \frac{81}{{(- 3 \cdot - 10 - 1 \cdot 1)}^{2}}$

Этап 4.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Умножим $- 3$ на $- 10$ .

$9 \frac{81}{{(30 - 1 \cdot 1)}^{2}}$

Этап 4.2.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$9 \frac{81}{{(30 - 1)}^{2}}$

Этап 4.2.3

Вычтем $1$ из $30$ .

$9 \frac{81}{29^{2}}$

Этап 4.2.4

Возведем $29$ в степень $2$ .

$9 (\frac{81}{841})$

Этап 4.3

Умножим $9 (\frac{81}{841})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Объединим $9$ и $\frac{81}{841}$ .

$\frac{9 \cdot 81}{841}$

Этап 4.3.2

Умножим $9$ на $81$ .

$\frac{729}{841}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{729}{841}$

Десятичная форма:

$0.86682520 \dots$