Математический анализ Примеры

$f (x) = 1 - \sin (4 x)$

Этап 1

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 2

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int 1 - \sin (4 x) d x$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int d x + \int - \sin (4 x) d x$

Этап 4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$x + C + \int - \sin (4 x) d x$

Этап 5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$x + C - \int \sin (4 x) d x$

Этап 6

Пусть $u = 4 x$ . Тогда $d u = 4 d x$ , следовательно $\frac{1}{4} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть $u = 4 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Дифференцируем $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Этап 6.1.2

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 6.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Этап 6.1.4

Умножим $4$ на $1$ .

$4$

Этап 6.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$x + C - \int \sin (u) \frac{1}{4} d u$

Этап 7

Объединим $\sin (u)$ и $\frac{1}{4}$ .

$x + C - \int \frac{\sin (u)}{4} d u$

Этап 8

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$x + C - (\frac{1}{4} \int \sin (u) d u)$

Этап 9

Интеграл $\sin (u)$ по $u$ имеет вид $- \cos (u)$ .

$x + C - \frac{1}{4} (- \cos (u) + C)$

Этап 10

Упростим.

$x + \frac{\cos (u)}{4} + C$

Этап 11

Заменим все вхождения $u$ на $4 x$ .

$x + \frac{\cos (4 x)}{4} + C$

Этап 12

Изменим порядок членов.

$x + \frac{1}{4} \cos (4 x) + C$

Этап 13

Ответ ― первообразная функции $f (x) = 1 - \sin (4 x)$ .

$F (x) =$ $x + \frac{1}{4} \cos (4 x) + C$