Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{5} {(x - 2)}^{2} + 1 d x$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{5} {(x - 2)}^{2} d x + \int_{0}^{5} d x$

Этап 2

Пусть $u = x - 2$ . Тогда $d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = x - 2$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Этап 2.1.2

По правилу суммы производная $x - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 2.1.4

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 2.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 2.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = x - 2$ .

$u_{lower} = 0 - 2$

Этап 2.3

Вычтем $2$ из $0$ .

$u_{lower} = - 2$

Этап 2.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = x - 2$ .

$u_{upper} = 5 - 2$

Этап 2.5

Вычтем $2$ из $5$ .

$u_{upper} = 3$

Этап 2.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = - 2$

$u_{upper} = 3$

Этап 2.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{- 2}^{3} u^{2} d u + \int_{0}^{5} d x$

Этап 3

По правилу степени интеграл $u^{2}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{3}]_{- 2}^{3} + \int_{0}^{5} d x$

Этап 4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{3} u^{3}]_{- 2}^{3} + x]_{0}^{5}$

Этап 5

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем значение $\frac{1}{3} u^{3}$ в $3$ и в $- 2$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 3^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3} + x]_{0}^{5}$

Этап 5.2

Найдем значение $x$ в $5$ и в $0$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 3^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3} + (5) + 0$

Этап 5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Возведем $3$ в степень $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot 27 - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3} + (5) + 0$

Этап 5.3.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $27$ .

$\frac{27}{3} - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3} + (5) + 0$

Этап 5.3.3

Сократим общий множитель $27$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Вынесем множитель $3$ из $27$ .

$\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3} + (5) + 0$

Этап 5.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3} + (5) + 0$

Этап 5.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3} + (5) + 0$

Этап 5.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{9}{1} - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3} + (5) + 0$

Этап 5.3.3.2.4

Разделим $9$ на $1$ .

$9 - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3} + (5) + 0$

Этап 5.3.4

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$9 - \frac{1}{3} \cdot - 8 + (5) + 0$

Этап 5.3.5

Умножим $- 8$ на $- 1$ .

$9 + 8 (\frac{1}{3}) + (5) + 0$

Этап 5.3.6

Объединим $8$ и $\frac{1}{3}$ .

$9 + \frac{8}{3} + (5) + 0$

Этап 5.3.7

Чтобы записать $9$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$9 \cdot \frac{3}{3} + \frac{8}{3} + (5) + 0$

Этап 5.3.8

Объединим $9$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{9 \cdot 3}{3} + \frac{8}{3} + (5) + 0$

Этап 5.3.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{9 \cdot 3 + 8}{3} + (5) + 0$

Этап 5.3.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.10.1

Умножим $9$ на $3$ .

$\frac{27 + 8}{3} + (5) + 0$

Этап 5.3.10.2

Добавим $27$ и $8$ .

$\frac{35}{3} + (5) + 0$

Этап 5.3.11

Добавим $5$ и $0$ .

$\frac{35}{3} + 5$

Этап 5.3.12

Чтобы записать $5$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{35}{3} + 5 \cdot \frac{3}{3}$

Этап 5.3.13

Объединим $5$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{35}{3} + \frac{5 \cdot 3}{3}$

Этап 5.3.14

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{35 + 5 \cdot 3}{3}$

Этап 5.3.15

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.15.1

Умножим $5$ на $3$ .

$\frac{35 + 15}{3}$

Этап 5.3.15.2

Добавим $35$ и $15$ .

$\frac{50}{3}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{50}{3}$

Десятичная форма:

$16.\overline{6}$

Форма смешанных чисел:

$16 \frac{2}{3}$

Этап 7