Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{1} \ln (1 - x) d x$

Этап 1

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = \ln (1 - x)$ и $d v = 1$ .

$\ln (1 - x) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x (- \frac{1}{1 - x}) d x$

Этап 2

Объединим $x$ и $\frac{1}{1 - x}$ .

$\ln (1 - x) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - \frac{x}{1 - x} d x$

Этап 3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\ln (1 - x) x]_{0}^{1} - - \int_{0}^{1} \frac{x}{1 - x} d x$

Этап 4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\ln (1 - x) x]_{0}^{1} + 1 \int_{0}^{1} \frac{x}{1 - x} d x$

Этап 4.1.2

Умножим $\int_{0}^{1} \frac{x}{1 - x} d x$ на $1$ .

$\ln (1 - x) x]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} \frac{x}{1 - x} d x$

Этап 4.2

Изменим порядок $1$ и $- x$ .

$\ln (1 - x) x]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} \frac{x}{- x + 1} d x$

Этап 5

Разделим $x$ на $- x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$1$

$x$

$0$

Этап 5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x$ на член с максимальной степенью в делителе $- x$ .

				-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$

Этап 5.3

Умножим новое частное на делитель.

				-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
				+	$x$	-	$1$

Этап 5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x - 1$ .

				-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
				-	$x$	+	$1$

Этап 5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
				-	$x$	+	$1$
						+	$1$

Этап 5.6

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$\ln (1 - x) x]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - 1 + \frac{1}{- x + 1} d x$

Этап 6

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\ln (1 - x) x]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - 1 d x + \int_{0}^{1} \frac{1}{- x + 1} d x$

Этап 7

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\ln (1 - x) x]_{0}^{1} + - x]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} \frac{1}{- x + 1} d x$

Этап 8

Пусть $u = - x + 1$ . Тогда $d u = - d x$ , следовательно $- d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Пусть $u = - x + 1$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Перепишем.

$\frac{- 1}{1}$

Этап 8.1.2

Разделим $- 1$ на $1$ .

$- 1$

Этап 8.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = - x + 1$ .

$u_{lower} = - 0 + 1$

Этап 8.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Умножим $- 1$ на $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Этап 8.3.2

Добавим $0$ и $1$ .

$u_{lower} = 1$

Этап 8.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = - x + 1$ .

$u_{upper} = - 1 \cdot 1 + 1$

Этап 8.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$u_{upper} = - 1 + 1$

Этап 8.5.2

Добавим $- 1$ и $1$ .

$u_{upper} = 0$

Этап 8.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

Этап 8.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\ln (1 - x) x]_{0}^{1} + - x]_{0}^{1} + \int_{1}^{0} \frac{- 1}{u} d u$

Этап 9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\ln (1 - x) x]_{0}^{1} + - x]_{0}^{1} + \int_{1}^{0} - \frac{1}{u} d u$

Этап 10

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\ln (1 - x) x]_{0}^{1} + - x]_{0}^{1} - \int_{1}^{0} \frac{1}{u} d u$

Этап 11

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\ln (1 - x) x]_{0}^{1} + - x]_{0}^{1} - (\ln (| u |)]_{1}^{0})$

Этап 12

Объединим $\ln (1 - x) x]_{0}^{1}$ и $- x]_{0}^{1}$ .

$\ln (1 - x) x - x]_{0}^{1} - (\ln (| u |)]_{1}^{0})$

Этап 13

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Найдем значение $\ln (1 - x) x - x$ в $1$ и в $0$ .

$(\ln (1 - 1 \cdot 1) \cdot 1 - 1 \cdot 1) - (\ln (1 - 0) \cdot 0 - 0) - (\ln (| u |)]_{1}^{0})$

Этап 13.2

Найдем значение $\ln (| u |)$ в $0$ и в $1$ .

$(\ln (1 - 1 \cdot 1) \cdot 1 - 1 \cdot 1) - (\ln (1 - 0) \cdot 0 - 0) - ((\ln (| 0 |)) - \ln (| 1 |))$

Этап 13.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\ln (1 - 1) \cdot 1 - 1 \cdot 1 - (\ln (1 - 0) \cdot 0 - 0) - ((\ln (| 0 |)) - \ln (| 1 |))$

Этап 13.3.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$\ln (0) \cdot 1 - 1 \cdot 1 - (\ln (1 - 0) \cdot 0 - 0) - ((\ln (| 0 |)) - \ln (| 1 |))$

Этап 13.3.3

Натуральный логарифм нуля не определен.

Неопределенные

$\ln (0) \cdot 1 - 1 \cdot 1 - (\ln (1 - 0) \cdot 0 - 0) - ((\ln (| 0 |)) - \ln (| 1 |))$

Этап 13.4

Натуральный логарифм нуля не определен.

Неопределенные

$\ln (0) \cdot 1 - 1 \cdot 1 - (\ln (1 - 0) \cdot 0 - 0) - ((\ln (| 0 |)) - \ln (| 1 |))$

Этап 14

Натуральный логарифм нуля не определен.

Неопределенные