Математический анализ Примеры

$\int_{3}^{6} \frac{1}{\sqrt{6 x - x^{2}}} d x$

Этап 1

Вынесем множитель $x$ из $6 x - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $x$ из $6 x$ .

$\int_{3}^{6} \frac{1}{\sqrt{x \cdot 6 - x^{2}}} d x$

Этап 1.2

Вынесем множитель $x$ из $- x^{2}$ .

$\int_{3}^{6} \frac{1}{\sqrt{x \cdot 6 + x (- x)}} d x$

Этап 1.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot 6 + x (- x)$ .

$\int_{3}^{6} \frac{1}{\sqrt{x (6 - x)}} d x$

Этап 2

Составим полный квадрат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x \cdot 6 + x (- x)$

Этап 2.1.2

Перенесем $6$ влево от $x$ .

$6 \cdot x + x (- x)$

Этап 2.1.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$6 \cdot x - x \cdot x$

Этап 2.1.4

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Перенесем $x$ .

$6 x - (x \cdot x)$

Этап 2.1.4.2

Умножим $x$ на $x$ .

$6 x - x^{2}$

Этап 2.1.5

Изменим порядок $6 x$ и $- x^{2}$ .

$- x^{2} + 6 x$

Этап 2.2

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = - 1$

$b = 6$

$c = 0$

Этап 2.3

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 2.4

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{6}{2 \cdot - 1}$

Этап 2.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Сократим общий множитель $6$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot - 1}$

Этап 2.4.2.1.2

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{3}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 3$

Этап 2.4.2.2

Умножим $- 1$ на $3$ .

$d = - 3$

Этап 2.5

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{6^{2}}{4 \cdot - 1}$

Этап 2.5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1.1

Возведем $6$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{36}{4 \cdot - 1}$

Этап 2.5.2.1.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$e = 0 - \frac{36}{- 4}$

Этап 2.5.2.1.3

Разделим $36$ на $- 4$ .

$e = 0 - - 9$

Этап 2.5.2.1.4

Умножим $- 1$ на $- 9$ .

$e = 0 + 9$

Этап 2.5.2.2

Добавим $0$ и $9$ .

$e = 9$

Этап 2.6

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $- {(x - 3)}^{2} + 9$ .

$\int_{3}^{6} \frac{1}{\sqrt{- {(x - 3)}^{2} + 9}} d x$

Этап 3

Пусть $u = x - 3$ . Тогда $d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть $u = x - 3$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Дифференцируем $x - 3$ .

$\frac{d}{d x} [x - 3]$

Этап 3.1.2

По правилу суммы производная $x - 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 3.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 3.1.4

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 3.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 3.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = x - 3$ .

$u_{lower} = 3 - 3$

Этап 3.3

Вычтем $3$ из $3$ .

$u_{lower} = 0$

Этап 3.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = x - 3$ .

$u_{upper} = 6 - 3$

Этап 3.5

Вычтем $3$ из $6$ .

$u_{upper} = 3$

Этап 3.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 3$

Этап 3.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{0}^{3} \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + 9}} d u$

Этап 4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\int_{0}^{3} \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + 3^{2}}} d u$

Этап 4.2

Изменим порядок $- u^{2}$ и $3^{2}$ .

$\int_{0}^{3} \frac{1}{\sqrt{3^{2} - u^{2}}} d u$

Этап 5

Интеграл $\frac{1}{\sqrt{3^{2} - u^{2}}}$ по $u$ имеет вид $\arcsin (\frac{u}{3})$ .

$\arcsin (\frac{u}{3})]_{0}^{3}$

Этап 6

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем значение $\arcsin (\frac{u}{3})$ в $3$ и в $0$ .

$(\arcsin (\frac{3}{3})) - \arcsin (\frac{0}{3})$

Этап 6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\arcsin (\frac{3}{3}) - \arcsin (\frac{0}{3})$

Этап 6.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\arcsin (1) - \arcsin (\frac{0}{3})$

Этап 6.2.2

Сократим общий множитель $0$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $0$ .

$\arcsin (1) - \arcsin (\frac{3 (0)}{3})$

Этап 6.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\arcsin (1) - \arcsin (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Этап 6.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\arcsin (1) - \arcsin (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Этап 6.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\arcsin (1) - \arcsin (\frac{0}{1})$

Этап 6.2.2.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$\arcsin (1) - \arcsin (0)$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Точное значение $\arcsin (1)$ : $\frac{π}{2}$ .

$\frac{π}{2} - \arcsin (0)$

Этап 7.1.2

Точное значение $\arcsin (0)$ : $0$ .

$\frac{π}{2} - 0$

Этап 7.1.3

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{π}{2} + 0$

Этап 7.2

Добавим $\frac{π}{2}$ и $0$ .

$\frac{π}{2}$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{π}{2}$

Десятичная форма:

$1.57079632 \dots$

Этап 9