Математический анализ Примеры

${(x - 4)}^{2} + (y + 3) = 25$

Этап 1

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем ${(x - 4)}^{2}$ из обеих частей уравнения.

$y + 3 = 25 - {(x - 4)}^{2}$

Этап 1.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$y = 25 - {(x - 4)}^{2} - 3$

Этап 1.3

Вычтем $3$ из $25$ .

$y = - {(x - 4)}^{2} + 22$

Этап 2

Воспользуемся формой с выделенной вершиной $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , чтобы определить значения $a$ , $h$ и $k$ .

$a = - 1$

$h = 4$

$k = 22$

Этап 3

Поскольку $a$ имеет отрицательное значение, ветви параболы направлены вниз.

вниз

Этап 4

Найдем вершину $(h, k)$ .

$(4, 22)$

Этап 5

Найдем $p$ , расстояние от вершины до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем расстояние от вершины до фокуса параболы, используя следующую формулу.

$\frac{1}{4 a}$

Этап 5.2

Подставим значение $a$ в формулу.

$\frac{1}{4 \cdot - 1}$

Этап 5.3

Сократим общий множитель $1$ и $- 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot - 1}$

Этап 5.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{4}$

Этап 6

Найдем фокус.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Фокус параболы можно найти, добавив $p$ к координате y $k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$(h, k + p)$

Этап 6.2

Подставим известные значения $h$ , $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$(4, \frac{87}{4})$

Этап 7

Найдем ось симметрии, то есть линию, которая проходит через вершину и фокус.

$x = 4$

Этап 8

Найдем направляющую.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Директриса параболы ― это горизонтальная прямая, которую можно найти вычитанием $p$ из y-координаты вершины $k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$y = k - p$

Этап 8.2

Подставим известные значения $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$y = \frac{89}{4}$

Этап 9

Используем свойства параболы для анализа и построения ее графика.

Направление ветвей: вниз

Вершина: $(4, 22)$

Фокус: $(4, \frac{87}{4})$

Ось симметрии: $x = 4$

Директриса: $y = \frac{89}{4}$

Этап 10