Математический анализ Примеры

$\frac{4}{\sqrt{x}} + \frac{3}{x} - 2 e^{x}$

Этап 1

Запишем $\frac{4}{\sqrt{x}} + \frac{3}{x} - 2 e^{x}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{4}{\sqrt{x}} + \frac{3}{x} - 2 e^{x}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \frac{4}{\sqrt{x}} + \frac{3}{x} - 2 e^{x} d x$

Этап 4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \frac{4}{\sqrt{x}} d x + \int \frac{3}{x} d x + \int - 2 e^{x} d x$

Этап 5

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$4 \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x + \int \frac{3}{x} d x + \int - 2 e^{x} d x$

Этап 6

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$4 \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x + \int \frac{3}{x} d x + \int - 2 e^{x} d x$

Этап 6.2

Вынесем $x^{\frac{1}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$4 \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x + \int \frac{3}{x} d x + \int - 2 e^{x} d x$

Этап 6.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x + \int \frac{3}{x} d x + \int - 2 e^{x} d x$

Этап 6.3.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$4 \int x^{\frac{- 1}{2}} d x + \int \frac{3}{x} d x + \int - 2 e^{x} d x$

Этап 6.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$4 \int x^{- \frac{1}{2}} d x + \int \frac{3}{x} d x + \int - 2 e^{x} d x$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x^{- \frac{1}{2}}$ по $x$ имеет вид $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + \int \frac{3}{x} d x + \int - 2 e^{x} d x$

Этап 8

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 3 \int \frac{1}{x} d x + \int - 2 e^{x} d x$

Этап 9

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 3 (\ln (| x |) + C) + \int - 2 e^{x} d x$

Этап 10

Поскольку $- 2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 2$ из-под знака интеграла.

$4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 3 (\ln (| x |) + C) - 2 \int e^{x} d x$

Этап 11

Интеграл $e^{x}$ по $x$ имеет вид $e^{x}$ .

$4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 3 (\ln (| x |) + C) - 2 (e^{x} + C)$

Этап 12

Упростим.

$8 x^{\frac{1}{2}} + 3 \ln (| x |) - 2 e^{x} + C$

Этап 13

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \frac{4}{\sqrt{x}} + \frac{3}{x} - 2 e^{x}$ .

$F (x) =$ $8 x^{\frac{1}{2}} + 3 \ln (| x |) - 2 e^{x} + C$