Математический анализ Примеры

$lim_{x \to - 1} \frac{2 x^{2} + 2 x}{3 \cos (- 1 - x) - 3}$

Этап 1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to - 1} 2 x^{2} + 2 x}{lim_{x \to - 1} 3 \cos (- 1 - x) - 3}$

Этап 1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 1$ .

$\frac{lim_{x \to - 1} 2 x^{2} + lim_{x \to - 1} 2 x}{lim_{x \to - 1} 3 \cos (- 1 - x) - 3}$

Этап 1.2.2

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to - 1} x^{2} + lim_{x \to - 1} 2 x}{lim_{x \to - 1} 3 \cos (- 1 - x) - 3}$

Этап 1.2.3

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{2 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + lim_{x \to - 1} 2 x}{lim_{x \to - 1} 3 \cos (- 1 - x) - 3}$

Этап 1.2.4

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{2 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 2 lim_{x \to - 1} x}{lim_{x \to - 1} 3 \cos (- 1 - x) - 3}$

Этап 1.2.5

Найдем значения пределов, подставив значение $- 1$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 1$ для $x$ .

$\frac{2 {(- 1)}^{2} + 2 lim_{x \to - 1} x}{lim_{x \to - 1} 3 \cos (- 1 - x) - 3}$

Этап 1.2.5.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 1$ для $x$ .

$\frac{2 {(- 1)}^{2} + 2 \cdot - 1}{lim_{x \to - 1} 3 \cos (- 1 - x) - 3}$

Этап 1.2.6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$\frac{2 \cdot 1 + 2 \cdot - 1}{lim_{x \to - 1} 3 \cos (- 1 - x) - 3}$

Этап 1.2.6.1.2

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{2 + 2 \cdot - 1}{lim_{x \to - 1} 3 \cos (- 1 - x) - 3}$

Этап 1.2.6.1.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{2 - 2}{lim_{x \to - 1} 3 \cos (- 1 - x) - 3}$

Этап 1.2.6.2

Вычтем $2$ из $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} 3 \cos (- 1 - x) - 3}$

Этап 1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} 3 \cos (- 1 - x) - lim_{x \to - 1} 3}$

Этап 1.3.2

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{0}{3 lim_{x \to - 1} \cos (- 1 - x) - lim_{x \to - 1} 3}$

Этап 1.3.3

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{0}{3 \cos (lim_{x \to - 1} - 1 - x) - lim_{x \to - 1} 3}$

Этап 1.3.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 1$ .

$\frac{0}{3 \cos (- lim_{x \to - 1} 1 - lim_{x \to - 1} x) - lim_{x \to - 1} 3}$

Этап 1.3.5

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 1$ .

$\frac{0}{3 \cos (- 1 \cdot 1 - lim_{x \to - 1} x) - lim_{x \to - 1} 3}$

Этап 1.3.6

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 1$ .

$\frac{0}{3 \cos (- 1 \cdot 1 - lim_{x \to - 1} x) - 1 \cdot 3}$

Этап 1.3.7

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.7.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 1$ для $x$ .

$\frac{0}{3 \cos (- 1 \cdot 1 + 1) - 1 \cdot 3}$

Этап 1.3.7.2

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.7.2.1.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{0}{3 \cos (- 1 + 1) - 1 \cdot 3}$

Этап 1.3.7.2.1.2

Добавим $- 1$ и $1$ .

$\frac{0}{3 \cos (0) - 1 \cdot 3}$

Этап 1.3.7.2.1.3

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{0}{3 \cdot 1 - 1 \cdot 3}$

Этап 1.3.7.2.1.4

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{0}{3 - 1 \cdot 3}$

Этап 1.3.7.2.1.5

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{0}{3 - 3}$

Этап 1.3.7.2.2

Вычтем $3$ из $3$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.3.7.2.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.3.7.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.3.8

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to - 1} \frac{2 x^{2} + 2 x}{3 \cos (- 1 - x) - 3} = lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [2 x^{2} + 2 x]}{\frac{d}{d x} [3 \cos (- 1 - x) - 3]}$

Этап 3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [2 x^{2} + 2 x]}{\frac{d}{d x} [3 \cos (- 1 - x) - 3]}$

Этап 3.2

По правилу суммы производная $2 x^{2} + 2 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [3 \cos (- 1 - x) - 3]}$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{2}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [3 \cos (- 1 - x) - 3]}$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [3 \cos (- 1 - x) - 3]}$

Этап 3.3.3

Умножим $2$ на $2$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [3 \cos (- 1 - x) - 3]}$

Этап 3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 2 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [3 \cos (- 1 - x) - 3]}$

Этап 3.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 2 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [3 \cos (- 1 - x) - 3]}$

Этап 3.4.3

Умножим $2$ на $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 2}{\frac{d}{d x} [3 \cos (- 1 - x) - 3]}$

Этап 3.5

По правилу суммы производная $3 \cos (- 1 - x) - 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 \cos (- 1 - x)] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 2}{\frac{d}{d x} [3 \cos (- 1 - x)] + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Этап 3.6

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 \cos (- 1 - x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 \cos (- 1 - x)$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [\cos (- 1 - x)]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 2}{3 \frac{d}{d x} [\cos (- 1 - x)] + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Этап 3.6.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \cos (x)$ и $g (x) = - 1 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- 1 - x$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 2}{3 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [- 1 - x]) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Этап 3.6.2.2

Производная $\cos (u)$ по $u$ равна $- \sin (u)$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 2}{3 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [- 1 - x]) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Этап 3.6.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $- 1 - x$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 2}{3 (- \sin (- 1 - x) \frac{d}{d x} [- 1 - x]) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Этап 3.6.3

По правилу суммы производная $- 1 - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 2}{3 (- \sin (- 1 - x) (\frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- x])) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Этап 3.6.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 2}{3 (- \sin (- 1 - x) (0 + \frac{d}{d x} [- x])) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Этап 3.6.5

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 2}{3 (- \sin (- 1 - x) (0 - \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Этап 3.6.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 2}{3 (- \sin (- 1 - x) (0 - 1 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Этап 3.6.7

Умножим $- 1$ на $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 2}{3 (- \sin (- 1 - x) (0 - 1)) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Этап 3.6.8

Вычтем $1$ из $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 2}{3 (- \sin (- 1 - x) \cdot - 1) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Этап 3.6.9

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 2}{3 (1 \sin (- 1 - x)) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Этап 3.6.10

Умножим $\sin (- 1 - x)$ на $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 2}{3 \sin (- 1 - x) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Этап 3.7

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 2}{3 \sin (- 1 - x) + 0}$

Этап 3.8

Добавим $3 \sin (- 1 - x)$ и $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 2}{3 \sin (- 1 - x)}$

Этап 4

Поскольку эта функция стремится к $- \infty$ слева, а к $\infty$ справа, предел не существует.

$Не существует$