Математический анализ Примеры

$e^{x} (1 - 3 e^{- 2 x})$

Этап 1

Запишем $e^{x} (1 - 3 e^{- 2 x})$ в виде функции.

$f (x) = e^{x} (1 - 3 e^{- 2 x})$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int e^{x} (1 - 3 e^{- 2 x}) d x$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int e^{x} \cdot 1 + e^{x} (- 3 e^{- 2 x}) d x$

Этап 4.2

Умножим $e^{x}$ на $1$ .

$\int e^{x} + e^{x} (- 3 e^{- 2 x}) d x$

Этап 4.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\int e^{x} - 3 e^{x} e^{- 2 x} d x$

Этап 4.4

Умножим $e^{x}$ на $e^{- 2 x}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Перенесем $e^{- 2 x}$ .

$\int e^{x} - 3 (e^{- 2 x} e^{x}) d x$

Этап 4.4.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int e^{x} - 3 e^{- 2 x + x} d x$

Этап 4.4.3

Добавим $- 2 x$ и $x$ .

$\int e^{x} - 3 e^{- x} d x$

Этап 5

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int e^{x} d x + \int - 3 e^{- x} d x$

Этап 6

Интеграл $e^{x}$ по $x$ имеет вид $e^{x}$ .

$e^{x} + C + \int - 3 e^{- x} d x$

Этап 7

Поскольку $- 3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 3$ из-под знака интеграла.

$e^{x} + C - 3 \int e^{- x} d x$

Этап 8

Пусть $u = - x$ . Тогда $d u = - d x$ , следовательно $- d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Пусть $u = - x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Дифференцируем $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Этап 8.1.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Этап 8.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Этап 8.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 1$

Этап 8.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$e^{x} + C - 3 \int - e^{u} d u$

Этап 9

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$e^{x} + C - 3 (- \int e^{u} d u)$

Этап 10

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$e^{x} + C + 3 \int e^{u} d u$

Этап 11

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$e^{x} + C + 3 (e^{u} + C)$

Этап 12

Упростим.

$e^{x} + 3 e^{u} + C$

Этап 13

Заменим все вхождения $u$ на $- x$ .

$e^{x} + 3 e^{- x} + C$

Этап 14

Ответ ― первообразная функции $f (x) = e^{x} (1 - 3 e^{- 2 x})$ .

$F (x) =$ $e^{x} + 3 e^{- x} + C$