Математический анализ Примеры

$\sqrt{\frac{x}{y}}$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{\frac{x}{y}}$ в виде ${(\frac{x}{y})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(\frac{x}{y})}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = \frac{x}{y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{x}{y}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{x}{y}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{y})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Этап 3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{y})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Этап 4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{y})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Этап 5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{y})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Этап 6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{y})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Этап 6.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{y})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Этап 7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{y})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Этап 8

Поскольку $\frac{1}{y}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{x}{y}$ по $x$ равна $\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{y})}^{- \frac{1}{2}} (\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 9

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Умножим $\frac{1}{y}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{y \cdot 2} {(\frac{x}{y})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 9.2

Перенесем $2$ влево от $y$ .

$\frac{1}{2 \cdot y} {(\frac{x}{y})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 10

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{2 y} {(\frac{x}{y})}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1$

Этап 11

Умножим $\frac{1}{2 y}$ на $1$ .

$\frac{1}{2 y} {(\frac{x}{y})}^{- \frac{1}{2}}$

Этап 12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Изменим знак экспоненты, переписав основание в виде обратной величины.

$\frac{1}{2 y} {(\frac{y}{x})}^{\frac{1}{2}}$

Этап 12.2

Применим правило умножения к $\frac{y}{x}$ .

$\frac{1}{2 y} \cdot \frac{y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 12.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1

Умножим $\frac{1}{2 y}$ на $\frac{y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2 y x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 12.3.2

Перенесем $y^{\frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{1}{2 y x^{\frac{1}{2}} y^{- \frac{1}{2}}}$

Этап 12.3.3

Умножим $y$ на $y^{- \frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.3.1

Перенесем $y^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 (y^{- \frac{1}{2}} y) x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 12.3.3.2

Умножим $y^{- \frac{1}{2}}$ на $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.3.2.1

Возведем $y$ в степень $1$ .

$\frac{1}{2 (y^{- \frac{1}{2}} y^{1}) x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 12.3.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{2 y^{- \frac{1}{2} + 1} x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 12.3.3.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{1}{2 y^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 12.3.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2 y^{\frac{- 1 + 2}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 12.3.3.5

Добавим $- 1$ и $2$ .

$\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 12.4

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}}$