Математический анализ Примеры

$\int x \sqrt{x - 2} d x$

Этап 1

Пусть $u = x - 2$ . Тогда $d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = x - 2$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Этап 1.1.2

По правилу суммы производная $x - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 1.1.4

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 1.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int (u + 2) \sqrt{u} d u$

Этап 2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u}$ в виде $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int (u + 2) u^{\frac{1}{2}} d u$

Этап 3

Развернем $(u + 2) u^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int u \cdot u^{\frac{1}{2}} + 2 u^{\frac{1}{2}} d u$

Этап 3.2

Возведем $u$ в степень $1$ .

$\int u^{1} u^{\frac{1}{2}} + 2 u^{\frac{1}{2}} d u$

Этап 3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int u^{1 + \frac{1}{2}} + 2 u^{\frac{1}{2}} d u$

Этап 3.4

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\int u^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} + 2 u^{\frac{1}{2}} d u$

Этап 3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\int u^{\frac{2 + 1}{2}} + 2 u^{\frac{1}{2}} d u$

Этап 3.6

Добавим $2$ и $1$ .

$\int u^{\frac{3}{2}} + 2 u^{\frac{1}{2}} d u$

Этап 3.7

Изменим порядок $u^{\frac{3}{2}}$ и $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int 2 u^{\frac{1}{2}} + u^{\frac{3}{2}} d u$

Этап 4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 2 u^{\frac{1}{2}} d u + \int u^{\frac{3}{2}} d u$

Этап 5

Поскольку $2$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int u^{\frac{1}{2}} d u + \int u^{\frac{3}{2}} d u$

Этап 6

По правилу степени интеграл $u^{\frac{1}{2}}$ по $u$ имеет вид $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$2 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C) + \int u^{\frac{3}{2}} d u$

Этап 7

По правилу степени интеграл $u^{\frac{3}{2}}$ по $u$ имеет вид $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$2 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C) + \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Объединим $\frac{2}{3}$ и $u^{\frac{3}{2}}$ .

$2 (\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$

Этап 8.2

Упростим.

$\frac{4 u^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$

Этап 8.3

Изменим порядок членов.

$\frac{4}{3} u^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$

Этап 9

Заменим все вхождения $u$ на $x - 2$ .

$\frac{4}{3} {(x - 2)}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{5} {(x - 2)}^{\frac{5}{2}} + C$