Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \infty} {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{x}$

Этап 1

Используем свойства логарифмов, чтобы упростить предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем ${(\frac{x + 1}{x - 1})}^{x}$ в виде $e^{\ln ({(\frac{x + 1}{x - 1})}^{x})}$ .

$lim_{x \to \infty} e^{\ln ({(\frac{x + 1}{x - 1})}^{x})}$

Этап 1.2

Развернем $\ln ({(\frac{x + 1}{x - 1})}^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

$lim_{x \to \infty} e^{x \ln (\frac{x + 1}{x - 1})}$

Этап 2

Внесем предел под знак экспоненты.

$e^{lim_{x \to \infty} x \ln (\frac{x + 1}{x - 1})}$

Этап 3

Перепишем $x \ln (\frac{x + 1}{x - 1})$ в виде $\frac{\ln (\frac{x + 1}{x - 1})}{\frac{1}{x}}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\ln (\frac{x + 1}{x - 1})}{\frac{1}{x}}}$

Этап 4

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$e^{\frac{lim_{x \to \infty} \ln (\frac{x + 1}{x - 1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Этап 4.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Внесем предел под знак логарифма.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{x + 1}{x - 1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Этап 4.1.2.2

Разделим числитель и знаменатель на $x$ в наибольшей степени в знаменателе, т. е. $x$ .

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x} - \frac{1}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Этап 4.1.2.3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.3.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.3.1.1

Сократим общий множитель.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x} - \frac{1}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Этап 4.1.2.3.1.2

Перепишем это выражение.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x} - \frac{1}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Этап 4.1.2.3.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.3.2.1

Сократим общий множитель.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x} - \frac{1}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Этап 4.1.2.3.2.2

Перепишем это выражение.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{1 - \frac{1}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Этап 4.1.2.3.3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Этап 4.1.2.3.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Этап 4.1.2.3.5

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Этап 4.1.2.4

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x}$ стремится к $0$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1 + 0}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Этап 4.1.2.5

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.5.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1 + 0}{lim_{x \to \infty} 1 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Этап 4.1.2.5.2

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1 + 0}{1 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Этап 4.1.2.6

$e^{\frac{\ln (\frac{1 + 0}{1 - 0})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Этап 4.1.2.7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.7.1

Добавим $1$ и $0$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{1 - 0})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Этап 4.1.2.7.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.7.2.1

Умножим $- 1$ на $0$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{1 + 0})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Этап 4.1.2.7.2.2

Добавим $1$ и $0$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Этап 4.1.2.7.3

Разделим $1$ на $1$ .

$e^{\frac{\ln (1)}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Этап 4.1.2.7.4

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$e^{\frac{0}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Этап 4.1.3

$e^{\frac{0}{0}}$

Этап 4.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$e^{\frac{0}{0}}$

Этап 4.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (\frac{x + 1}{x - 1})}{\frac{1}{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x + 1}{x - 1})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Этап 4.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x + 1}{x - 1})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 4.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = \frac{x + 1}{x - 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{x + 1}{x - 1}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x - 1}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 4.3.2.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x - 1}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 4.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{x + 1}{x - 1}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{\frac{x + 1}{x - 1}} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x - 1}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 4.3.3

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{x + 1}{x - 1}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1 \frac{x - 1}{x + 1} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x - 1}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 4.3.4

Умножим $\frac{x - 1}{x + 1}$ на $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - 1}{x + 1} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x - 1}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 4.3.5

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x + 1$ и $g (x) = x - 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1] - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 4.3.6

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{(x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 4.3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{(x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 4.3.8

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{(x - 1) (1 + 0) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 4.3.9

Добавим $1$ и $0$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{(x - 1) \cdot 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 4.3.10

Умножим $x - 1$ на $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 4.3.11

По правилу суммы производная $x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 4.3.12

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 4.3.13

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 1) (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 4.3.14

Добавим $1$ и $0$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 1) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 4.3.15

Умножим $- 1$ на $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 1)}{{(x - 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 4.3.16

Умножим $\frac{x - 1}{x + 1}$ на $\frac{x - 1 - (x + 1)}{{(x - 1)}^{2}}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{(x - 1) (x - 1 - (x + 1))}{(x + 1) {(x - 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 4.3.17

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.17.1

Вынесем множитель $x - 1$ из $(x + 1) {(x - 1)}^{2}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{(x - 1) (x - 1 - (x + 1))}{(x - 1) (x + 1) (x - 1)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 4.3.17.2

Сократим общий множитель.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{(x - 1) (x - 1 - (x + 1))}{(x - 1) (x + 1) (x - 1)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 4.3.17.3

Перепишем это выражение.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - 1 - (x + 1)}{(x + 1) (x - 1)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 4.3.18

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.18.1

Применим свойство дистрибутивности.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - 1 - x - 1 \cdot 1}{(x + 1) (x - 1)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 4.3.18.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.18.2.1

Объединим противоположные члены в $x - 1 - x - 1 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.18.2.1.1

Вычтем $x$ из $x$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{0 - 1 - 1 \cdot 1}{(x + 1) (x - 1)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 4.3.18.2.1.2

Вычтем $1$ из $0$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 1 - 1 \cdot 1}{(x + 1) (x - 1)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 4.3.18.2.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 1 - 1}{(x + 1) (x - 1)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 4.3.18.2.3

Вычтем $1$ из $- 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 2}{(x + 1) (x - 1)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 4.3.18.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{2}{(x + 1) (x - 1)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 4.3.19

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{2}{(x + 1) (x - 1)}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1}]}}$

Этап 4.3.20

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{2}{(x + 1) (x - 1)}}{- x^{- 2}}}$

Этап 4.3.21

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{2}{(x + 1) (x - 1)}}{- \frac{1}{x^{2}}}}$

Этап 4.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$e^{lim_{x \to \infty} - \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} \cdot - 1 x^{2}}$

Этап 4.5

Объединим множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} 1 \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} x^{2}}$

Этап 4.5.2

Умножим $\frac{2}{(x + 1) (x - 1)}$ на $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} x^{2}}$

Этап 4.5.3

Объединим $\frac{2}{(x + 1) (x - 1)}$ и $x^{2}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}}$

Этап 5

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}}$

Этап 6

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$e^{2 \frac{lim_{x \to \infty} x^{2}}{lim_{x \to \infty} (x + 1) (x - 1)}}$

Этап 6.1.2

Для многочлена, старший коэффициент которого положителен, предел в бесконечности равен бесконечности.

$e^{2 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} (x + 1) (x - 1)}}$

Этап 6.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$e^{2 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x (x - 1) + 1 (x - 1)}}$

Этап 6.1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$e^{2 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1)}}$

Этап 6.1.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$e^{2 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1}}$

Этап 6.1.3.4

Изменим порядок $x$ и $- 1$ .

$e^{2 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x \cdot x - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1}}$

Этап 6.1.3.5

Возведем $x$ в степень $1$ .

$e^{2 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x^{1} x - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}}$

Этап 6.1.3.6

Возведем $x$ в степень $1$ .

$e^{2 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x^{1} x^{1} - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}}$

Этап 6.1.3.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$e^{2 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x^{1 + 1} - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}}$

Этап 6.1.3.8

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.8.1

Добавим $1$ и $1$ .

$e^{2 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x^{2} - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}}$

Этап 6.1.3.8.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.8.2.1

Умножим $x$ на $1$ .

$e^{2 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x^{2} - 1 x + x + 1 \cdot - 1}}$

Этап 6.1.3.8.2.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$e^{2 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x^{2} - 1 x + x - 1}}$

Этап 6.1.3.8.3

Добавим $- 1 x$ и $x$ .

$e^{2 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x^{2} + 0 - 1}}$

Этап 6.1.3.8.4

Вычтем $1$ из $0$ .

$e^{2 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x^{2} - 1}}$

Этап 6.1.3.9

Для многочлена, старший коэффициент которого положителен, предел в бесконечности равен бесконечности.

$e^{2 \frac{\infty}{\infty}}$

Этап 6.1.3.10

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$e^{2 \frac{\infty}{\infty}}$

Этап 6.1.4

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$e^{2 \frac{\infty}{\infty}}$

Этап 6.2

Поскольку $\frac{\infty}{\infty}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 1)]}$

Этап 6.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 1)]}}$

Этап 6.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 1)]}}$

Этап 6.3.3

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x + 1$ и $g (x) = x - 1$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{(x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1] + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}}$

Этап 6.3.4

По правилу суммы производная $x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{(x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}}$

Этап 6.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{(x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}}$

Этап 6.3.6

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{(x + 1) (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}}$

Этап 6.3.7

Добавим $1$ и $0$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{(x + 1) \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}}$

Этап 6.3.8

Умножим $x + 1$ на $1$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{x + 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}}$

Этап 6.3.9

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{x + 1 + (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}}$

Этап 6.3.10

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{x + 1 + (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1])}}$

Этап 6.3.11

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{x + 1 + (x - 1) (1 + 0)}}$

Этап 6.3.12

Добавим $1$ и $0$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{x + 1 + (x - 1) \cdot 1}}$

Этап 6.3.13

Умножим $x - 1$ на $1$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{x + 1 + x - 1}}$

Этап 6.3.14

Добавим $x$ и $x$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{2 x + 1 - 1}}$

Этап 6.3.15

Вычтем $1$ из $1$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{2 x + 0}}$

Этап 6.3.16

Добавим $2 x$ и $0$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{2 x}}$

Этап 6.4

Сократим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1.1

Сократим общий множитель.

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{2 x}}$

Этап 6.4.1.2

Перепишем это выражение.

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{x}{x}}$

Этап 6.4.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1

Сократим общий множитель.

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{x}{x}}$

Этап 6.4.2.2

Перепишем это выражение.

$e^{2 lim_{x \to \infty} 1}$

Этап 7

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$e^{2 \cdot 1}$

Этап 7.2

Умножим $2$ на $1$ .

$e^{2}$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$e^{2}$

Десятичная форма:

$7.38905609 \dots$