Математический анализ Примеры

$h (t) = 60 - 55 \sin (\frac{π}{10} t + \frac{π}{2})$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $60 - 55 \sin (\frac{π}{10} t + \frac{π}{2})$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [60] + \frac{d}{d t} [- 55 \sin (\frac{π}{10} t + \frac{π}{2})]$ .

$\frac{d}{d t} [60] + \frac{d}{d t} [- 55 \sin (\frac{π}{10} t + \frac{π}{2})]$

Этап 1.1.2

Поскольку $60$ является константой относительно $t$ , производная $60$ относительно $t$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [- 55 \sin (\frac{π}{10} t + \frac{π}{2})]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d t} [- 55 \sin (\frac{π}{10} t + \frac{π}{2})]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Объединим $\frac{π}{10}$ и $t$ .

$0 + \frac{d}{d t} [- 55 \sin (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2})]$

Этап 1.2.2

Поскольку $- 55$ является константой относительно $t$ , производная $- 55 \sin (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2})$ по $t$ равна $- 55 \frac{d}{d t} [\sin (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2})]$ .

$0 - 55 \frac{d}{d t} [\sin (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2})]$

Этап 1.2.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = \sin (t)$ и $g (t) = \frac{π t}{10} + \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}$ .

$0 - 55 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d t} [\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}])$

Этап 1.2.3.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$0 - 55 (\cos (u) \frac{d}{d t} [\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}])$

Этап 1.2.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}$ .

$0 - 55 (\cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) \frac{d}{d t} [\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}])$

Этап 1.2.4

По правилу суммы производная $\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [\frac{π t}{10}] + \frac{d}{d t} [\frac{π}{2}]$ .

$0 - 55 (\cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) (\frac{d}{d t} [\frac{π t}{10}] + \frac{d}{d t} [\frac{π}{2}]))$

Этап 1.2.5

Поскольку $\frac{π}{10}$ является константой относительно $t$ , производная $\frac{π t}{10}$ по $t$ равна $\frac{π}{10} \frac{d}{d t} [t]$ .

$0 - 55 (\cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) (\frac{π}{10} \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [\frac{π}{2}]))$

Этап 1.2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 - 55 (\cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) (\frac{π}{10} \cdot 1 + \frac{d}{d t} [\frac{π}{2}]))$

Этап 1.2.7

Поскольку $\frac{π}{2}$ является константой относительно $t$ , производная $\frac{π}{2}$ относительно $t$ равна $0$ .

$0 - 55 (\cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) (\frac{π}{10} \cdot 1 + 0))$

Этап 1.2.8

Умножим $\frac{π}{10}$ на $1$ .

$0 - 55 (\cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) (\frac{π}{10} + 0))$

Этап 1.2.9

Добавим $\frac{π}{10}$ и $0$ .

$0 - 55 (\cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) \frac{π}{10})$

Этап 1.2.10

Объединим $\cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2})$ и $\frac{π}{10}$ .

$0 - 55 \frac{\cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) π}{10}$

Этап 1.2.11

Объединим $- 55$ и $\frac{\cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) π}{10}$ .

$0 + \frac{- 55 (\cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) π)}{10}$

Этап 1.2.12

Сократим общий множитель $- 55$ и $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.12.1

Вынесем множитель $5$ из $- 55 \cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) π$ .

$0 + \frac{5 (- 11 \cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) π)}{10}$

Этап 1.2.12.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.12.2.1

Вынесем множитель $5$ из $10$ .

$0 + \frac{5 (- 11 \cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) π)}{5 (2)}$

Этап 1.2.12.2.2

Сократим общий множитель.

$0 + \frac{5 (- 11 \cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) π)}{5 \cdot 2}$

Этап 1.2.12.2.3

Перепишем это выражение.

$0 + \frac{- 11 \cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) π}{2}$

Этап 1.2.13

Вынесем знак минуса перед дробью.

$0 - \frac{11 \cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) π}{2}$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Вычтем $\frac{11 \cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) π}{2}$ из $0$ .

$- \frac{11 \cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) π}{2}$

Этап 1.3.2

Изменим порядок множителей в $- \frac{11 \cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) π}{2}$ .

$- \frac{11 π \cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2})}{2}$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $- \frac{11 π}{2}$ является константой относительно $t$ , производная $- \frac{11 π \cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2})}{2}$ по $t$ равна $- \frac{11 π}{2} \frac{d}{d t} [\cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2})]$ .

$h'' (t) = - \frac{11 π}{2} \cdot \frac{d}{d t} \cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2})$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = \cos (t)$ и $g (t) = \frac{π t}{10} + \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}$ .

$h'' (t) = - \frac{11 π}{2} \cdot (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d t} (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}))$

Этап 2.2.2

Производная $\cos (u)$ по $u$ равна $- \sin (u)$ .

$h'' (t) = - \frac{11 π}{2} \cdot (- \sin (u) \frac{d}{d t} (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}))$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}$ .

$h'' (t) = - \frac{11 π}{2} \cdot (- \sin (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) \frac{d}{d t} (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}))$

Этап 2.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$h'' (t) = 1 (\frac{11 π}{2}) \cdot (\sin (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) \frac{d}{d t} (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}))$

Этап 2.3.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Умножим $\frac{11 π}{2}$ на $1$ .

$h'' (t) = \frac{11 π}{2} \cdot (\sin (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) \frac{d}{d t} (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}))$

Этап 2.3.2.2

Объединим $\sin (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2})$ и $\frac{11 π}{2}$ .

$h'' (t) = \frac{\sin (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) (11 π)}{2} \cdot \frac{d}{d t} (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2})$

Этап 2.3.2.3

Перенесем $11$ влево от $\sin (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2})$ .

$h'' (t) = \frac{11 \cdot (\sin (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) π)}{2} \cdot \frac{d}{d t} (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2})$

Этап 2.3.3

По правилу суммы производная $\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [\frac{π t}{10}] + \frac{d}{d t} [\frac{π}{2}]$ .

$h'' (t) = \frac{11 \sin (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) π}{2} \cdot (\frac{d}{d t} (\frac{π t}{10}) + \frac{d}{d t} (\frac{π}{2}))$

Этап 2.3.4

$h'' (t) = \frac{11 \sin (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) π}{2} \cdot (\frac{π}{10} \cdot \frac{d}{d t} (t) + \frac{d}{d t} (\frac{π}{2}))$

Этап 2.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$h'' (t) = \frac{11 \sin (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) π}{2} \cdot (\frac{π}{10} \cdot 1 + \frac{d}{d t} (\frac{π}{2}))$

Этап 2.3.6

Умножим $\frac{π}{10}$ на $1$ .

$h'' (t) = \frac{11 \sin (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) π}{2} \cdot (\frac{π}{10} + \frac{d}{d t} (\frac{π}{2}))$

Этап 2.3.7

Поскольку $\frac{π}{2}$ является константой относительно $t$ , производная $\frac{π}{2}$ относительно $t$ равна $0$ .

$h'' (t) = \frac{11 \sin (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) π}{2} \cdot (\frac{π}{10} + 0)$

Этап 2.3.8

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.8.1

Добавим $\frac{π}{10}$ и $0$ .

$h'' (t) = \frac{11 \sin (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) π}{2} \cdot \frac{π}{10}$

Этап 2.3.8.2

Умножим $\frac{11 \sin (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) π}{2}$ на $\frac{π}{10}$ .

$h'' (t) = \frac{11 \sin (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) π π}{2 \cdot 10}$

Этап 2.4

Возведем $π$ в степень $1$ .

$h'' (t) = \frac{11 \sin (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) (π π)}{2 \cdot 10}$

Этап 2.5

Возведем $π$ в степень $1$ .

$h'' (t) = \frac{11 \sin (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) (π π)}{2 \cdot 10}$

Этап 2.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$h'' (t) = \frac{11 \sin (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) π^{1 + 1}}{2 \cdot 10}$

Этап 2.7

Добавим $1$ и $1$ .

$h'' (t) = \frac{11 \sin (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) π^{2}}{2 \cdot 10}$

Этап 2.8

Умножим $2$ на $10$ .

$h'' (t) = \frac{11 \sin (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) π^{2}}{20}$

Этап 2.9

Изменим порядок множителей в $11 \sin (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) π^{2}$ .

$h'' (t) = \frac{11 π^{2} \sin (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2})}{20}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$- \frac{11 π \cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2})}{2} = 0$

Этап 4

Приравняем числитель к нулю.

$11 π \cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) = 0$

Этап 5

Решим уравнение относительно $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разделим каждый член $11 π \cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) = 0$ на $11 π$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Разделим каждый член $11 π \cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) = 0$ на $11 π$ .

$\frac{11 π \cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2})}{11 π} = \frac{0}{11 π}$

Этап 5.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Сократим общий множитель $11$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{11 π \cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2})}{11 π} = \frac{0}{11 π}$

Этап 5.1.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{π \cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2})}{π} = \frac{0}{11 π}$

Этап 5.1.2.2

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{π \cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2})}{π} = \frac{0}{11 π}$

Этап 5.1.2.2.2

Разделим $\cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2})$ на $1$ .

$\cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) = \frac{0}{11 π}$

Этап 5.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Сократим общий множитель $0$ и $11$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1.1

Вынесем множитель $11$ из $0$ .

$\cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) = \frac{11 (0)}{11 π}$

Этап 5.1.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1.2.1

Вынесем множитель $11$ из $11 π$ .

$\cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) = \frac{11 (0)}{11 (π)}$

Этап 5.1.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) = \frac{11 \cdot 0}{11 π}$

Этап 5.1.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) = \frac{0}{π}$

Этап 5.1.3.2

Разделим $0$ на $π$ .

$\cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) = 0$

Этап 5.2

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $t$ из косинуса.

$\frac{π t}{10} + \frac{π}{2} = \arccos (0)$

Этап 5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Точное значение $\arccos (0)$ : $\frac{π}{2}$ .

$\frac{π t}{10} + \frac{π}{2} = \frac{π}{2}$

Этап 5.4

Перенесем все члены без $t$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Вычтем $\frac{π}{2}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{π t}{10} = \frac{π}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 5.4.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{π t}{10} = \frac{π - π}{2}$

Этап 5.4.3

Вычтем $π$ из $π$ .

$\frac{π t}{10} = \frac{0}{2}$

Этап 5.4.4

Разделим $0$ на $2$ .

$\frac{π t}{10} = 0$

Этап 5.5

Приравняем числитель к нулю.

$π t = 0$

Этап 5.6

Разделим каждый член $π t = 0$ на $π$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Разделим каждый член $π t = 0$ на $π$ .

$\frac{π t}{π} = \frac{0}{π}$

Этап 5.6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.1

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{π t}{π} = \frac{0}{π}$

Этап 5.6.2.1.2

Разделим $t$ на $1$ .

$t = \frac{0}{π}$

Этап 5.6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.3.1

Разделим $0$ на $π$ .

$t = 0$

Этап 5.7

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$\frac{π t}{10} + \frac{π}{2} = 2 π - \frac{π}{2}$

Этап 5.8

Решим относительно $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.1

Упростим $2 π - \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.1.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π t}{10} + \frac{π}{2} = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 5.8.1.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.1.2.1

Объединим $2 π$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π t}{10} + \frac{π}{2} = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 5.8.1.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{π t}{10} + \frac{π}{2} = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 5.8.1.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.1.3.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{π t}{10} + \frac{π}{2} = \frac{4 π - π}{2}$

Этап 5.8.1.3.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$\frac{π t}{10} + \frac{π}{2} = \frac{3 π}{2}$

Этап 5.8.2

Перенесем все члены без $t$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.2.1

Вычтем $\frac{π}{2}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{π t}{10} = \frac{3 π}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 5.8.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{π t}{10} = \frac{3 π - π}{2}$

Этап 5.8.2.3

Вычтем $π$ из $3 π$ .

$\frac{π t}{10} = \frac{2 π}{2}$

Этап 5.8.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{π t}{10} = \frac{2 π}{2}$

Этап 5.8.2.4.2

Разделим $π$ на $1$ .

$\frac{π t}{10} = π$

Этап 5.8.3

Умножим обе части уравнения на $\frac{10}{π}$ .

$\frac{10}{π} \cdot \frac{π t}{10} = \frac{10}{π} π$

Этап 5.8.4

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.4.1.1

Упростим $\frac{10}{π} \cdot \frac{π t}{10}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.4.1.1.1

Сократим общий множитель $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.4.1.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{10}{π} \cdot \frac{π t}{10} = \frac{10}{π} π$

Этап 5.8.4.1.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{π} (π t) = \frac{10}{π} π$

Этап 5.8.4.1.1.2

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.4.1.1.2.1

Вынесем множитель $π$ из $π t$ .

$\frac{1}{π} (π (t)) = \frac{10}{π} π$

Этап 5.8.4.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{π} (π t) = \frac{10}{π} π$

Этап 5.8.4.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$t = \frac{10}{π} π$

Этап 5.8.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.4.2.1

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$t = \frac{10}{π} π$

Этап 5.8.4.2.1.2

Перепишем это выражение.

$t = 10$

Этап 5.9

Решение уравнения $\frac{π t}{10} + \frac{π}{2} = \frac{π}{2}$ .

$t = 0, 10$

Этап 6

Найдем вторую производную в $t = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{11 π^{2} \sin (\frac{π (0)}{10} + \frac{π}{2})}{20}$

Этап 7

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Сократим общий множитель $0$ и $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Вынесем множитель $10$ из $π (0)$ .

$\frac{11 π^{2} \sin (\frac{10 (π \cdot (0))}{10} + \frac{π}{2})}{20}$

Этап 7.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.1

Вынесем множитель $10$ из $10$ .

$\frac{11 π^{2} \sin (\frac{10 (π \cdot (0))}{10 (1)} + \frac{π}{2})}{20}$

Этап 7.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{11 π^{2} \sin (\frac{10 (π \cdot (0))}{10 \cdot 1} + \frac{π}{2})}{20}$

Этап 7.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{11 π^{2} \sin (\frac{π \cdot (0)}{1} + \frac{π}{2})}{20}$

Этап 7.1.2.4

Разделим $π \cdot (0)$ на $1$ .

$\frac{11 π^{2} \sin (π \cdot (0) + \frac{π}{2})}{20}$

Этап 7.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Умножим $π$ на $0$ .

$\frac{11 π^{2} \sin (0 + \frac{π}{2})}{20}$

Этап 7.2.2

Добавим $0$ и $\frac{π}{2}$ .

$\frac{11 π^{2} \sin (\frac{π}{2})}{20}$

Этап 7.2.3

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$\frac{11 π^{2} \cdot 1}{20}$

Этап 7.2.4

Умножим $11$ на $1$ .

$\frac{11 π^{2}}{20}$

Этап 8

$t = 0$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$t = 0$ — локальный минимум

Этап 9

Найдем значение y, если $t = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Заменим в этом выражении переменную $t$ на $0$ .

$h (0) = 60 - 55 \sin (\frac{π}{10} \cdot (0) + \frac{π}{2})$

Этап 9.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.1

Умножим $\frac{π}{10}$ на $0$ .

$h (0) = 60 - 55 \sin (0 + \frac{π}{2})$

Этап 9.2.1.2

Добавим $0$ и $\frac{π}{2}$ .

$h (0) = 60 - 55 \sin (\frac{π}{2})$

Этап 9.2.1.3

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$h (0) = 60 - 55 \cdot 1$

Этап 9.2.1.4

Умножим $- 55$ на $1$ .

$h (0) = 60 - 55$

Этап 9.2.2

Вычтем $55$ из $60$ .

$h (0) = 5$

Этап 9.2.3

Окончательный ответ: $5$ .

$y = 5$

Этап 10

Найдем вторую производную в $t = 10$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{11 π^{2} \sin (\frac{π (10)}{10} + \frac{π}{2})}{20}$

Этап 11

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Сократим общий множитель $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{11 π^{2} \sin (\frac{π \cdot 10}{10} + \frac{π}{2})}{20}$

Этап 11.1.2

Разделим $π$ на $1$ .

$\frac{11 π^{2} \sin (π + \frac{π}{2})}{20}$

Этап 11.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{11 π^{2} \sin (π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2})}{20}$

Этап 11.2.2

Объединим $π$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{11 π^{2} \sin (\frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2})}{20}$

Этап 11.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{11 π^{2} \sin (\frac{π \cdot 2 + π}{2})}{20}$

Этап 11.2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.1

Перенесем $2$ влево от $π$ .

$\frac{11 π^{2} \sin (\frac{2 \cdot π + π}{2})}{20}$

Этап 11.2.4.2

Добавим $2 π$ и $π$ .

$\frac{11 π^{2} \sin (\frac{3 π}{2})}{20}$

Этап 11.2.5

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как синус отрицательный в четвертом квадранте.

$\frac{11 π^{2} (- \sin (\frac{π}{2}))}{20}$

Этап 11.2.6

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$\frac{11 π^{2} (- 1 \cdot 1)}{20}$

Этап 11.2.7

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{11 π^{2} \cdot - 1}{20}$

Этап 11.2.8

Умножим $- 1$ на $11$ .

$\frac{- 11 π^{2}}{20}$

Этап 11.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{11 π^{2}}{20}$

Этап 12

$t = 10$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$t = 10$ — локальный максимум

Этап 13

Найдем значение y, если $t = 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Заменим в этом выражении переменную $t$ на $10$ .

$h (10) = 60 - 55 \sin (\frac{π}{10} \cdot (10) + \frac{π}{2})$

Этап 13.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1.1

Сократим общий множитель $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$h (10) = 60 - 55 \sin (\frac{π}{10} \cdot 10 + \frac{π}{2})$

Этап 13.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$h (10) = 60 - 55 \sin (π + \frac{π}{2})$

Этап 13.2.1.2

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$h (10) = 60 - 55 \sin (π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2})$

Этап 13.2.1.3

Объединим $π$ и $\frac{2}{2}$ .

$h (10) = 60 - 55 \sin (\frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2})$

Этап 13.2.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$h (10) = 60 - 55 \sin (\frac{π \cdot 2 + π}{2})$

Этап 13.2.1.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1.5.1

Перенесем $2$ влево от $π$ .

$h (10) = 60 - 55 \sin (\frac{2 \cdot π + π}{2})$

Этап 13.2.1.5.2

Добавим $2 π$ и $π$ .

$h (10) = 60 - 55 \sin (\frac{3 π}{2})$

Этап 13.2.1.6

$h (10) = 60 - 55 (- \sin (\frac{π}{2}))$

Этап 13.2.1.7

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$h (10) = 60 - 55 (- 1 \cdot 1)$

Этап 13.2.1.8

Умножим $- 55 (- 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1.8.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$h (10) = 60 - 55 \cdot - 1$

Этап 13.2.1.8.2

Умножим $- 55$ на $- 1$ .

$h (10) = 60 + 55$

Этап 13.2.2

Добавим $60$ и $55$ .

$h (10) = 115$

Этап 13.2.3

Окончательный ответ: $115$ .

$y = 115$

Этап 14

Это локальные экстремумы $h (t) = 60 - 55 \sin (\frac{π}{10} t + \frac{π}{2})$ .

$(0, 5)$ — локальный минимум

$(10, 115)$ — локальный максимум

Этап 15