Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{2 - 4 x}{8 - 64 x^{3}}$

Этап 1

Сократим общий множитель $2 - 4 x$ и $8 - 64 x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{2 (1) - 4 x}{8 - 64 x^{3}}$

Этап 1.2

Вынесем множитель $2$ из $- 4 x$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{2 (1) + 2 (- 2 x)}{8 - 64 x^{3}}$

Этап 1.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (1) + 2 (- 2 x)$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{2 (1 - 2 x)}{8 - 64 x^{3}}$

Этап 1.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{2 (1 - 2 x)}{2 \cdot 4 - 64 x^{3}}$

Этап 1.4.2

Вынесем множитель $2$ из $- 64 x^{3}$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{2 (1 - 2 x)}{2 \cdot 4 + 2 (- 32 x^{3})}$

Этап 1.4.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (4) + 2 (- 32 x^{3})$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{2 (1 - 2 x)}{2 (4 - 32 x^{3})}$

Этап 1.4.4

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{2 (1 - 2 x)}{2 (4 - 32 x^{3})}$

Этап 1.4.5

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{1 - 2 x}{4 - 32 x^{3}}$

Этап 2

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} 1 - 2 x}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 - 32 x^{3}}$

Этап 2.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\frac{1}{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} 1 - lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 - 32 x^{3}}$

Этап 2.1.2.1.2

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1 - lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 - 32 x^{3}}$

Этап 2.1.2.1.3

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1 - 2 lim_{x \to \frac{1}{2}} x}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 - 32 x^{3}}$

Этап 2.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{1}{2}$ для $x$ .

$\frac{1 - 2 (\frac{1}{2})}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 - 32 x^{3}}$

Этап 2.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$\frac{1 + 2 (- 1) \frac{1}{2}}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 - 32 x^{3}}$

Этап 2.1.2.3.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1 + 2 \cdot - 1 \frac{1}{2}}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 - 32 x^{3}}$

Этап 2.1.2.3.1.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 - 32 x^{3}}$

Этап 2.1.2.3.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 - 32 x^{3}}$

Этап 2.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\frac{1}{2}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 - lim_{x \to \frac{1}{2}} 32 x^{3}}$

Этап 2.1.3.1.2

Найдем предел $4$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\frac{1}{2}$ .

$\frac{0}{4 - lim_{x \to \frac{1}{2}} 32 x^{3}}$

Этап 2.1.3.1.3

Вынесем член $32$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{0}{4 - 32 lim_{x \to \frac{1}{2}} x^{3}}$

Этап 2.1.3.1.4

Вынесем степень $3$ в выражении $x^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{0}{4 - 32 {(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{3}}$

Этап 2.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{1}{2}$ для $x$ .

$\frac{0}{4 - 32 {(\frac{1}{2})}^{3}}$

Этап 2.1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.3.1.1

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$\frac{0}{4 - 32 \frac{1^{3}}{2^{3}}}$

Этап 2.1.3.3.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{0}{4 - 32 \frac{1}{2^{3}}}$

Этап 2.1.3.3.1.3

Возведем $2$ в степень $3$ .

$\frac{0}{4 - 32 (\frac{1}{8})}$

Этап 2.1.3.3.1.4

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.3.1.4.1

Вынесем множитель $8$ из $- 32$ .

$\frac{0}{4 + 8 (- 4) \frac{1}{8}}$

Этап 2.1.3.3.1.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{0}{4 + 8 \cdot - 4 \frac{1}{8}}$

Этап 2.1.3.3.1.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{0}{4 - 4}$

Этап 2.1.3.3.2

Вычтем $4$ из $4$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 2.1.3.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{1 - 2 x}{4 - 32 x^{3}} = lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [1 - 2 x]}{\frac{d}{d x} [4 - 32 x^{3}]}$

Этап 2.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [1 - 2 x]}{\frac{d}{d x} [4 - 32 x^{3}]}$

Этап 2.3.2

По правилу суммы производная $1 - 2 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [4 - 32 x^{3}]}$

Этап 2.3.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [4 - 32 x^{3}]}$

Этап 2.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{0 - 2 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [4 - 32 x^{3}]}$

Этап 2.3.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{0 - 2 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [4 - 32 x^{3}]}$

Этап 2.3.4.3

Умножим $- 2$ на $1$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{0 - 2}{\frac{d}{d x} [4 - 32 x^{3}]}$

Этап 2.3.5

Вычтем $2$ из $0$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{- 2}{\frac{d}{d x} [4 - 32 x^{3}]}$

Этап 2.3.6

По правилу суммы производная $4 - 32 x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{3}]$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{- 2}{\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{3}]}$

Этап 2.3.7

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{- 2}{0 + \frac{d}{d x} [- 32 x^{3}]}$

Этап 2.3.8

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 32 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.8.1

Поскольку $- 32$ является константой относительно $x$ , производная $- 32 x^{3}$ по $x$ равна $- 32 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{- 2}{0 - 32 \frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Этап 2.3.8.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{- 2}{0 - 32 (3 x^{2})}$

Этап 2.3.8.3

Умножим $3$ на $- 32$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{- 2}{0 - 96 x^{2}}$

Этап 2.3.9

Вычтем $96 x^{2}$ из $0$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{- 2}{- 96 x^{2}}$

Этап 2.4

Сократим общий множитель $- 2$ и $- 96$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Вынесем множитель $- 2$ из $- 2$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{- 2 (1)}{- 96 x^{2}}$

Этап 2.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Вынесем множитель $- 2$ из $- 96 x^{2}$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{- 2 (1)}{- 2 (48 x^{2})}$

Этап 2.4.2.2

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{- 2 \cdot 1}{- 2 (48 x^{2})}$

Этап 2.4.2.3

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{1}{48 x^{2}}$

Этап 3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем член $\frac{1}{48}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{48} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{1}{x^{2}}$

Этап 3.2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{48} \cdot \frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} x^{2}}$

Этап 3.3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{48} \cdot \frac{1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} x^{2}}$

Этап 3.4

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{1}{48} \cdot \frac{1}{{(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2}}$

Этап 4

Найдем предел $x$ , подставив значение $\frac{1}{2}$ для $x$ .

$\frac{1}{48} \cdot \frac{1}{{(\frac{1}{2})}^{2}}$

Этап 5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим.

$\frac{1 \cdot 1}{48 {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Этап 5.2

Умножим $1$ на $1$ .

$\frac{1}{48 {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Этап 5.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{48 \frac{1^{2}}{2^{2}}}$

Этап 5.3.2

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{48 \frac{1}{2^{2}}}$

Этап 5.3.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{1}{48 (\frac{1}{4})}$

Этап 5.4

Объединим $48$ и $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{\frac{48}{4}}$

Этап 5.5

Разделим $48$ на $4$ .

$\frac{1}{12}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{1}{12}$

Десятичная форма:

$0.08\overline{3}$