Математический анализ Примеры

$x^{5} (x + 1) (x - 1)$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{5} (x + 1)$ и $g (x) = x - 1$ .

$x^{5} (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1] + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{5} (x + 1)]$

Этап 1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$x^{5} (x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{5} (x + 1)]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x^{5} (x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{5} (x + 1)]$

Этап 1.2.3

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$x^{5} (x + 1) (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{5} (x + 1)]$

Этап 1.2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$x^{5} (x + 1) \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{5} (x + 1)]$

Этап 1.2.4.2

Умножим $x^{5}$ на $1$ .

$x^{5} (x + 1) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{5} (x + 1)]$

Этап 1.3

$x^{5} (x + 1) + (x - 1) (x^{5} \frac{d}{d x} [x + 1] + (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Этап 1.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$x^{5} (x + 1) + (x - 1) (x^{5} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Этап 1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x^{5} (x + 1) + (x - 1) (x^{5} (1 + \frac{d}{d x} [1]) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Этап 1.4.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$x^{5} (x + 1) + (x - 1) (x^{5} (1 + 0) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Этап 1.4.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$x^{5} (x + 1) + (x - 1) (x^{5} \cdot 1 + (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Этап 1.4.4.2

Умножим $x^{5}$ на $1$ .

$x^{5} (x + 1) + (x - 1) (x^{5} + (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Этап 1.4.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$x^{5} (x + 1) + (x - 1) (x^{5} + (x + 1) (5 x^{4}))$

Этап 1.4.6

Перенесем $5$ влево от $x + 1$ .

$x^{5} (x + 1) + (x - 1) (x^{5} + 5 \cdot (x + 1) x^{4})$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{5} x + x^{5} \cdot 1 + (x - 1) (x^{5} + 5 (x + 1) x^{4})$

Этап 1.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{5} x + x^{5} \cdot 1 + (x - 1) (x^{5} + (5 x + 5 \cdot 1) x^{4})$

Этап 1.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{5} x + x^{5} \cdot 1 + (x - 1) (x^{5} + 5 x \cdot x^{4} + 5 \cdot 1 x^{4})$

Этап 1.5.4

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{5} x + x^{5} \cdot 1 + (x - 1) x^{5} + (x - 1) (5 x \cdot x^{4}) + (x - 1) (5 \cdot 1 x^{4})$

Этап 1.5.5

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{5} x + x^{5} \cdot 1 + x \cdot x^{5} - 1 x^{5} + (x - 1) (5 x \cdot x^{4}) + (x - 1) (5 \cdot 1 x^{4})$

Этап 1.5.6

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{5} x + x^{5} \cdot 1 + x \cdot x^{5} - 1 x^{5} + x (5 x \cdot x^{4}) - 1 (5 x \cdot x^{4}) + (x - 1) (5 \cdot 1 x^{4})$

Этап 1.5.7

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{5} x + x^{5} \cdot 1 + x \cdot x^{5} - 1 x^{5} + x (5 x \cdot x^{4}) - 1 (5 x \cdot x^{4}) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

Этап 1.5.8

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.8.1

Умножим $x^{5}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.8.1.1

Умножим $x^{5}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.8.1.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{5} x^{1} + x^{5} \cdot 1 + x \cdot x^{5} - 1 x^{5} + x (5 x \cdot x^{4}) - 1 (5 x \cdot x^{4}) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

Этап 1.5.8.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{5 + 1} + x^{5} \cdot 1 + x \cdot x^{5} - 1 x^{5} + x (5 x \cdot x^{4}) - 1 (5 x \cdot x^{4}) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

Этап 1.5.8.1.2

Добавим $5$ и $1$ .

$x^{6} + x^{5} \cdot 1 + x \cdot x^{5} - 1 x^{5} + x (5 x \cdot x^{4}) - 1 (5 x \cdot x^{4}) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

Этап 1.5.8.2

Умножим $x^{5}$ на $1$ .

$x^{6} + x^{5} + x \cdot x^{5} - 1 x^{5} + x (5 x \cdot x^{4}) - 1 (5 x \cdot x^{4}) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

Этап 1.5.8.3

Умножим $x$ на $x^{5}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.8.3.1

Умножим $x$ на $x^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.8.3.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{6} + x^{5} + x^{1} x^{5} - 1 x^{5} + x (5 x \cdot x^{4}) - 1 (5 x \cdot x^{4}) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

Этап 1.5.8.3.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{6} + x^{5} + x^{1 + 5} - 1 x^{5} + x (5 x \cdot x^{4}) - 1 (5 x \cdot x^{4}) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

Этап 1.5.8.3.2

Добавим $1$ и $5$ .

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - 1 x^{5} + x (5 x \cdot x^{4}) - 1 (5 x \cdot x^{4}) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

Этап 1.5.8.4

Перепишем $- 1 x^{5}$ в виде $- x^{5}$ .

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + x (5 x \cdot x^{4}) - 1 (5 x \cdot x^{4}) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

Этап 1.5.8.5

Умножим $x$ на $x^{4}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.8.5.1

Перенесем $x^{4}$ .

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + x (5 (x^{4} x)) - 1 (5 x \cdot x^{4}) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

Этап 1.5.8.5.2

Умножим $x^{4}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.8.5.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + x (5 (x^{4} x^{1})) - 1 (5 x \cdot x^{4}) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

Этап 1.5.8.5.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + x (5 x^{4 + 1}) - 1 (5 x \cdot x^{4}) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

Этап 1.5.8.5.3

Добавим $4$ и $1$ .

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + x (5 x^{5}) - 1 (5 x \cdot x^{4}) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

Этап 1.5.8.6

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + 5 (x^{1} x^{5}) - 1 (5 x \cdot x^{4}) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

Этап 1.5.8.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + 5 x^{1 + 5} - 1 (5 x \cdot x^{4}) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

Этап 1.5.8.8

Добавим $1$ и $5$ .

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + 5 x^{6} - 1 (5 x \cdot x^{4}) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

Этап 1.5.8.9

Умножим $x$ на $x^{4}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.8.9.1

Перенесем $x^{4}$ .

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + 5 x^{6} - 1 (5 (x^{4} x)) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

Этап 1.5.8.9.2

Умножим $x^{4}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.8.9.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + 5 x^{6} - 1 (5 (x^{4} x^{1})) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

Этап 1.5.8.9.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + 5 x^{6} - 1 (5 x^{4 + 1}) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

Этап 1.5.8.9.3

Добавим $4$ и $1$ .

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + 5 x^{6} - 1 (5 x^{5}) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

Этап 1.5.8.10

Умножим $5$ на $- 1$ .

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + 5 x^{6} - 5 x^{5} + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

Этап 1.5.8.11

Умножим $5$ на $1$ .

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + 5 x^{6} - 5 x^{5} + x (5 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

Этап 1.5.8.12

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + 5 x^{6} - 5 x^{5} + 5 (x^{1} x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

Этап 1.5.8.13

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + 5 x^{6} - 5 x^{5} + 5 x^{1 + 4} - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

Этап 1.5.8.14

Добавим $1$ и $4$ .

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + 5 x^{6} - 5 x^{5} + 5 x^{5} - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

Этап 1.5.8.15

Умножим $5$ на $1$ .

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + 5 x^{6} - 5 x^{5} + 5 x^{5} - 1 (5 x^{4})$

Этап 1.5.8.16

Умножим $5$ на $- 1$ .

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + 5 x^{6} - 5 x^{5} + 5 x^{5} - 5 x^{4}$

Этап 1.5.8.17

Добавим $- 5 x^{5}$ и $5 x^{5}$ .

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + 5 x^{6} + 0 - 5 x^{4}$

Этап 1.5.8.18

Добавим $5 x^{6}$ и $0$ .

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + 5 x^{6} - 5 x^{4}$

Этап 1.5.8.19

Добавим $x^{6}$ и $5 x^{6}$ .

$x^{6} + x^{5} + 6 x^{6} - x^{5} - 5 x^{4}$

Этап 1.5.8.20

Добавим $x^{6}$ и $6 x^{6}$ .

$7 x^{6} + x^{5} - x^{5} - 5 x^{4}$

Этап 1.5.8.21

Вычтем $x^{5}$ из $x^{5}$ .

$7 x^{6} + 0 - 5 x^{4}$

Этап 1.5.8.22

Добавим $7 x^{6}$ и $0$ .

$7 x^{6} - 5 x^{4}$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $7 x^{6} - 5 x^{4}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [7 x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (7 x^{6}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{4})$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [7 x^{6}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7 x^{6}$ по $x$ равна $7 \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$f'' (x) = 7 \frac{d}{d x} (x^{6}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{4})$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 6$ .

$f'' (x) = 7 (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{4})$

Этап 2.2.3

Умножим $6$ на $7$ .

$f'' (x) = 42 x^{5} + \frac{d}{d x} (- 5 x^{4})$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5 x^{4}$ по $x$ равна $- 5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f'' (x) = 42 x^{5} - 5 \frac{d}{d x} x^{4}$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$f'' (x) = 42 x^{5} - 5 (4 x^{3})$

Этап 2.3.3

Умножим $4$ на $- 5$ .

$f'' (x) = 42 x^{5} - 20 x^{3}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$7 x^{6} - 5 x^{4} = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

$x^{5} (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1] + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{5} (x + 1)]$

Этап 4.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

По правилу суммы производная $x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$x^{5} (x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{5} (x + 1)]$

Этап 4.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x^{5} (x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{5} (x + 1)]$

Этап 4.1.2.3

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$x^{5} (x + 1) (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{5} (x + 1)]$

Этап 4.1.2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$x^{5} (x + 1) \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{5} (x + 1)]$

Этап 4.1.2.4.2

Умножим $x^{5}$ на $1$ .

$x^{5} (x + 1) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{5} (x + 1)]$

Этап 4.1.3

$x^{5} (x + 1) + (x - 1) (x^{5} \frac{d}{d x} [x + 1] + (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Этап 4.1.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$x^{5} (x + 1) + (x - 1) (x^{5} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Этап 4.1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x^{5} (x + 1) + (x - 1) (x^{5} (1 + \frac{d}{d x} [1]) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Этап 4.1.4.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$x^{5} (x + 1) + (x - 1) (x^{5} (1 + 0) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Этап 4.1.4.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$x^{5} (x + 1) + (x - 1) (x^{5} \cdot 1 + (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Этап 4.1.4.4.2

Умножим $x^{5}$ на $1$ .

$x^{5} (x + 1) + (x - 1) (x^{5} + (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Этап 4.1.4.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$x^{5} (x + 1) + (x - 1) (x^{5} + (x + 1) (5 x^{4}))$

Этап 4.1.4.6

Перенесем $5$ влево от $x + 1$ .

$x^{5} (x + 1) + (x - 1) (x^{5} + 5 \cdot (x + 1) x^{4})$

Этап 4.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{5} x + x^{5} \cdot 1 + (x - 1) (x^{5} + 5 (x + 1) x^{4})$

Этап 4.1.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{5} x + x^{5} \cdot 1 + (x - 1) (x^{5} + (5 x + 5 \cdot 1) x^{4})$

Этап 4.1.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{5} x + x^{5} \cdot 1 + (x - 1) (x^{5} + 5 x \cdot x^{4} + 5 \cdot 1 x^{4})$

Этап 4.1.5.4

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{5} x + x^{5} \cdot 1 + (x - 1) x^{5} + (x - 1) (5 x \cdot x^{4}) + (x - 1) (5 \cdot 1 x^{4})$

Этап 4.1.5.5

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{5} x + x^{5} \cdot 1 + x \cdot x^{5} - 1 x^{5} + (x - 1) (5 x \cdot x^{4}) + (x - 1) (5 \cdot 1 x^{4})$

Этап 4.1.5.6

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{5} x + x^{5} \cdot 1 + x \cdot x^{5} - 1 x^{5} + x (5 x \cdot x^{4}) - 1 (5 x \cdot x^{4}) + (x - 1) (5 \cdot 1 x^{4})$

Этап 4.1.5.7

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{5} x + x^{5} \cdot 1 + x \cdot x^{5} - 1 x^{5} + x (5 x \cdot x^{4}) - 1 (5 x \cdot x^{4}) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

Этап 4.1.5.8

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.8.1

Умножим $x^{5}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.8.1.1

Умножим $x^{5}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.8.1.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{5} x^{1} + x^{5} \cdot 1 + x \cdot x^{5} - 1 x^{5} + x (5 x \cdot x^{4}) - 1 (5 x \cdot x^{4}) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

Этап 4.1.5.8.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{5 + 1} + x^{5} \cdot 1 + x \cdot x^{5} - 1 x^{5} + x (5 x \cdot x^{4}) - 1 (5 x \cdot x^{4}) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

Этап 4.1.5.8.1.2

Добавим $5$ и $1$ .

$x^{6} + x^{5} \cdot 1 + x \cdot x^{5} - 1 x^{5} + x (5 x \cdot x^{4}) - 1 (5 x \cdot x^{4}) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

Этап 4.1.5.8.2

Умножим $x^{5}$ на $1$ .

$x^{6} + x^{5} + x \cdot x^{5} - 1 x^{5} + x (5 x \cdot x^{4}) - 1 (5 x \cdot x^{4}) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

Этап 4.1.5.8.3

Умножим $x$ на $x^{5}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.8.3.1

Умножим $x$ на $x^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.8.3.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{6} + x^{5} + x^{1} x^{5} - 1 x^{5} + x (5 x \cdot x^{4}) - 1 (5 x \cdot x^{4}) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

Этап 4.1.5.8.3.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{6} + x^{5} + x^{1 + 5} - 1 x^{5} + x (5 x \cdot x^{4}) - 1 (5 x \cdot x^{4}) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

Этап 4.1.5.8.3.2

Добавим $1$ и $5$ .

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - 1 x^{5} + x (5 x \cdot x^{4}) - 1 (5 x \cdot x^{4}) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

Этап 4.1.5.8.4

Перепишем $- 1 x^{5}$ в виде $- x^{5}$ .

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + x (5 x \cdot x^{4}) - 1 (5 x \cdot x^{4}) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

Этап 4.1.5.8.5

Умножим $x$ на $x^{4}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.8.5.1

Перенесем $x^{4}$ .

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + x (5 (x^{4} x)) - 1 (5 x \cdot x^{4}) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

Этап 4.1.5.8.5.2

Умножим $x^{4}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.8.5.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + x (5 (x^{4} x^{1})) - 1 (5 x \cdot x^{4}) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

Этап 4.1.5.8.5.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + x (5 x^{4 + 1}) - 1 (5 x \cdot x^{4}) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

Этап 4.1.5.8.5.3

Добавим $4$ и $1$ .

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + x (5 x^{5}) - 1 (5 x \cdot x^{4}) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

Этап 4.1.5.8.6

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + 5 (x^{1} x^{5}) - 1 (5 x \cdot x^{4}) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

Этап 4.1.5.8.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + 5 x^{1 + 5} - 1 (5 x \cdot x^{4}) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

Этап 4.1.5.8.8

Добавим $1$ и $5$ .

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + 5 x^{6} - 1 (5 x \cdot x^{4}) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

Этап 4.1.5.8.9

Умножим $x$ на $x^{4}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.8.9.1

Перенесем $x^{4}$ .

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + 5 x^{6} - 1 (5 (x^{4} x)) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

Этап 4.1.5.8.9.2

Умножим $x^{4}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.8.9.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + 5 x^{6} - 1 (5 (x^{4} x^{1})) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

Этап 4.1.5.8.9.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + 5 x^{6} - 1 (5 x^{4 + 1}) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

Этап 4.1.5.8.9.3

Добавим $4$ и $1$ .

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + 5 x^{6} - 1 (5 x^{5}) + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

Этап 4.1.5.8.10

Умножим $5$ на $- 1$ .

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + 5 x^{6} - 5 x^{5} + x (5 \cdot 1 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

Этап 4.1.5.8.11

Умножим $5$ на $1$ .

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + 5 x^{6} - 5 x^{5} + x (5 x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

Этап 4.1.5.8.12

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + 5 x^{6} - 5 x^{5} + 5 (x^{1} x^{4}) - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

Этап 4.1.5.8.13

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + 5 x^{6} - 5 x^{5} + 5 x^{1 + 4} - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

Этап 4.1.5.8.14

Добавим $1$ и $4$ .

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + 5 x^{6} - 5 x^{5} + 5 x^{5} - 1 (5 \cdot 1 x^{4})$

Этап 4.1.5.8.15

Умножим $5$ на $1$ .

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + 5 x^{6} - 5 x^{5} + 5 x^{5} - 1 (5 x^{4})$

Этап 4.1.5.8.16

Умножим $5$ на $- 1$ .

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + 5 x^{6} - 5 x^{5} + 5 x^{5} - 5 x^{4}$

Этап 4.1.5.8.17

Добавим $- 5 x^{5}$ и $5 x^{5}$ .

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + 5 x^{6} + 0 - 5 x^{4}$

Этап 4.1.5.8.18

Добавим $5 x^{6}$ и $0$ .

$x^{6} + x^{5} + x^{6} - x^{5} + 5 x^{6} - 5 x^{4}$

Этап 4.1.5.8.19

Добавим $x^{6}$ и $5 x^{6}$ .

$x^{6} + x^{5} + 6 x^{6} - x^{5} - 5 x^{4}$

Этап 4.1.5.8.20

Добавим $x^{6}$ и $6 x^{6}$ .

$7 x^{6} + x^{5} - x^{5} - 5 x^{4}$

Этап 4.1.5.8.21

Вычтем $x^{5}$ из $x^{5}$ .

$7 x^{6} + 0 - 5 x^{4}$

Этап 4.1.5.8.22

Добавим $7 x^{6}$ и $0$ .

$f' (x) = 7 x^{6} - 5 x^{4}$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $7 x^{6} - 5 x^{4}$ .

$7 x^{6} - 5 x^{4}$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $7 x^{6} - 5 x^{4} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$7 x^{6} - 5 x^{4} = 0$

Этап 5.2

Вынесем множитель $x^{4}$ из $7 x^{6} - 5 x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $x^{4}$ из $7 x^{6}$ .

$x^{4} (7 x^{2}) - 5 x^{4} = 0$

Этап 5.2.2

Вынесем множитель $x^{4}$ из $- 5 x^{4}$ .

$x^{4} (7 x^{2}) + x^{4} \cdot - 5 = 0$

Этап 5.2.3

Вынесем множитель $x^{4}$ из $x^{4} (7 x^{2}) + x^{4} \cdot - 5$ .

$x^{4} (7 x^{2} - 5) = 0$

Этап 5.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{4} = 0$

$7 x^{2} - 5 = 0$

Этап 5.4

Приравняем $x^{4}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Приравняем $x^{4}$ к $0$ .

$x^{4} = 0$

Этап 5.4.2

Решим $x^{4} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt[4]{0}$

Этап 5.4.2.2

Упростим $\pm \sqrt[4]{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{4}$ .

$x = \pm \sqrt[4]{0^{4}}$

Этап 5.4.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 5.4.2.2.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 5.5

Приравняем $7 x^{2} - 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Приравняем $7 x^{2} - 5$ к $0$ .

$7 x^{2} - 5 = 0$

Этап 5.5.2

Решим $7 x^{2} - 5 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$7 x^{2} = 5$

Этап 5.5.2.2

Разделим каждый член $7 x^{2} = 5$ на $7$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.1

Разделим каждый член $7 x^{2} = 5$ на $7$ .

$\frac{7 x^{2}}{7} = \frac{5}{7}$

Этап 5.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{7 x^{2}}{7} = \frac{5}{7}$

Этап 5.5.2.2.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{5}{7}$

Этап 5.5.2.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{\frac{5}{7}}$

Этап 5.5.2.4

Упростим $\pm \sqrt{\frac{5}{7}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.4.1

Перепишем $\sqrt{\frac{5}{7}}$ в виде $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7}}$

Этап 5.5.2.4.2

Умножим $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7}}$ на $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$

Этап 5.5.2.4.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.4.3.1

Умножим $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7}}$ на $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}}$

Этап 5.5.2.4.3.2

Возведем $\sqrt{7}$ в степень $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} \sqrt{7}}$

Этап 5.5.2.4.3.3

Возведем $\sqrt{7}$ в степень $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} {\sqrt{7}}^{1}}$

Этап 5.5.2.4.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1 + 1}}$

Этап 5.5.2.4.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{2}}$

Этап 5.5.2.4.3.6

Перепишем ${\sqrt{7}}^{2}$ в виде $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.4.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{7}$ в виде $7^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 5.5.2.4.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 5.5.2.4.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

Этап 5.5.2.4.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.4.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

Этап 5.5.2.4.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{7^{1}}$

Этап 5.5.2.4.3.6.5

Найдем экспоненту.

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{7}}{7}$

Этап 5.5.2.4.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.4.4.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$x = \pm \frac{\sqrt{5 \cdot 7}}{7}$

Этап 5.5.2.4.4.2

Умножим $5$ на $7$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{35}}{7}$

Этап 5.5.2.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \frac{\sqrt{35}}{7}$

Этап 5.5.2.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \frac{\sqrt{35}}{7}$

Этап 5.5.2.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \frac{\sqrt{35}}{7}, - \frac{\sqrt{35}}{7}$

Этап 5.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $x^{4} (7 x^{2} - 5) = 0$ верно.

$x = 0, \frac{\sqrt{35}}{7}, - \frac{\sqrt{35}}{7}$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 0, \frac{\sqrt{35}}{7}, - \frac{\sqrt{35}}{7}$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$42 {(0)}^{5} - 20 {(0)}^{3}$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$42 \cdot 0 - 20 {(0)}^{3}$

Этап 9.1.2

Умножим $42$ на $0$ .

$0 - 20 {(0)}^{3}$

Этап 9.1.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 - 20 \cdot 0$

Этап 9.1.4

Умножим $- 20$ на $0$ .

$0 + 0$

Этап 9.2

Добавим $0$ и $0$ .

$0$

Этап 10

Поскольку есть по крайней мере одна точка с $0$ или неопределенной второй производной, изучим изменение знака первой производной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы в окрестности значений $x$ , при которых первая производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, - \frac{\sqrt{35}}{7}) \cup (- \frac{\sqrt{35}}{7}, 0) \cup (0, \frac{\sqrt{35}}{7}) \cup (\frac{\sqrt{35}}{7}, \infty)$

Этап 10.2

Подставим любое число такое, что $- 3$ , из интервала $(- \infty, - \frac{\sqrt{35}}{7})$ в первую производную $7 x^{6} - 5 x^{4}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 3$ .

$f' (- 3) = 7 {(- 3)}^{6} - 5 {(- 3)}^{4}$

Этап 10.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1.1

Возведем $- 3$ в степень $6$ .

$f' (- 3) = 7 \cdot 729 - 5 {(- 3)}^{4}$

Этап 10.2.2.1.2

Умножим $7$ на $729$ .

$f' (- 3) = 5103 - 5 {(- 3)}^{4}$

Этап 10.2.2.1.3

Возведем $- 3$ в степень $4$ .

$f' (- 3) = 5103 - 5 \cdot 81$

Этап 10.2.2.1.4

Умножим $- 5$ на $81$ .

$f' (- 3) = 5103 - 405$

Этап 10.2.2.2

Вычтем $405$ из $5103$ .

$f' (- 3) = 4698$

Этап 10.2.2.3

Окончательный ответ: $4698$ .

$4698$

Этап 10.3

Подставим любое число такое, что $- 0.42$ , из интервала $(- \frac{\sqrt{35}}{7}, 0)$ в первую производную $7 x^{6} - 5 x^{4}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 0.42$ .

$f' (- 0.42) = 7 {(- 0.42)}^{6} - 5 {(- 0.42)}^{4}$

Этап 10.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.1.1

Возведем $- 0.42$ в степень $6$ .

$f' (- 0.42) = 7 \cdot 0.00548903 - 5 {(- 0.42)}^{4}$

Этап 10.3.2.1.2

Умножим $7$ на $0.00548903$ .

$f' (- 0.42) = 0.03842322 - 5 {(- 0.42)}^{4}$

Этап 10.3.2.1.3

Возведем $- 0.42$ в степень $4$ .

$f' (- 0.42) = 0.03842322 - 5 \cdot 0.03111696$

Этап 10.3.2.1.4

Умножим $- 5$ на $0.03111696$ .

$f' (- 0.42) = 0.03842322 - 0.1555848$

Этап 10.3.2.2

Вычтем $0.1555848$ из $0.03842322$ .

$f' (- 0.42) = - 0.11716157$

Этап 10.3.2.3

Окончательный ответ: $- 0.11716157$ .

$- 0.11716157$

Этап 10.4

Подставим любое число такое, что $0.42$ , из интервала $(0, \frac{\sqrt{35}}{7})$ в первую производную $7 x^{6} - 5 x^{4}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0.42$ .

$f' (0.42) = 7 {(0.42)}^{6} - 5 {(0.42)}^{4}$

Этап 10.4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.2.1.1

Возведем $0.42$ в степень $6$ .

$f' (0.42) = 7 \cdot 0.00548903 - 5 {(0.42)}^{4}$

Этап 10.4.2.1.2

Умножим $7$ на $0.00548903$ .

$f' (0.42) = 0.03842322 - 5 {(0.42)}^{4}$

Этап 10.4.2.1.3

Возведем $0.42$ в степень $4$ .

$f' (0.42) = 0.03842322 - 5 \cdot 0.03111696$

Этап 10.4.2.1.4

Умножим $- 5$ на $0.03111696$ .

$f' (0.42) = 0.03842322 - 0.1555848$

Этап 10.4.2.2

Вычтем $0.1555848$ из $0.03842322$ .

$f' (0.42) = - 0.11716157$

Этап 10.4.2.3

Окончательный ответ: $- 0.11716157$ .

$- 0.11716157$

Этап 10.5

Подставим любое число такое, что $3$ , из интервала $(\frac{\sqrt{35}}{7}, \infty)$ в первую производную $7 x^{6} - 5 x^{4}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3$ .

$f' (3) = 7 {(3)}^{6} - 5 {(3)}^{4}$

Этап 10.5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.2.1.1

Возведем $3$ в степень $6$ .

$f' (3) = 7 \cdot 729 - 5 {(3)}^{4}$

Этап 10.5.2.1.2

Умножим $7$ на $729$ .

$f' (3) = 5103 - 5 {(3)}^{4}$

Этап 10.5.2.1.3

Возведем $3$ в степень $4$ .

$f' (3) = 5103 - 5 \cdot 81$

Этап 10.5.2.1.4

Умножим $- 5$ на $81$ .

$f' (3) = 5103 - 405$

Этап 10.5.2.2

Вычтем $405$ из $5103$ .

$f' (3) = 4698$

Этап 10.5.2.3

Окончательный ответ: $4698$ .

$4698$

Этап 10.6

Поскольку первая производная меняет знак с положительного на отрицательный в окрестности $x = - \frac{\sqrt{35}}{7}$ , $x = - \frac{\sqrt{35}}{7}$ — локальный максимум.

$x = - \frac{\sqrt{35}}{7}$ — локальный максимум

Этап 10.7

Поскольку первая производная не меняет знак в окрестности $x = 0$ , в этой точке нет ни локального максимума, ни локального минимума.

Не локальный максимум или минимум

Этап 10.8

Поскольку первая производная меняет знак с отрицательного на положительный в окрестности $x = \frac{\sqrt{35}}{7}$ , $x = \frac{\sqrt{35}}{7}$ — локальный минимум.

$x = \frac{\sqrt{35}}{7}$ — локальный минимум

Этап 10.9

Это локальные экстремумы $f (x) = x^{5} (x + 1) (x - 1)$ .

$x = - \frac{\sqrt{35}}{7}$ — локальный максимум

$x = \frac{\sqrt{35}}{7}$ — локальный минимум

$x = - \frac{\sqrt{35}}{7}$ — локальный максимум

$x = \frac{\sqrt{35}}{7}$ — локальный минимум

Этап 11