Математический анализ Примеры

$\int x (x^{2} + 7) (\frac{1}{3}) d x$

Этап 1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x$ .

$\int \frac{x}{3} (x^{2} + 7) d x$

Этап 2

Пусть $u_{1} = \frac{x}{3}$ . Тогда $d u_{1} = \frac{1}{3} d x$ , следовательно $3 d u_{1} = d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u_{1} = \frac{x}{3}$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $\frac{x}{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Этап 2.1.2

Поскольку $\frac{1}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{x}{3}$ по $x$ равна $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1$

Этап 2.1.4

Умножим $\frac{1}{3}$ на $1$ .

$\frac{1}{3}$

Этап 2.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$\int 3 u_{1} ({(3 u_{1})}^{2} + 7) d u_{1}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель $3$ из $3 u_{1}$ .

$\int 3 u_{1} ({(3 (u_{1}))}^{2} + 7) d u_{1}$

Этап 3.2

Применим правило умножения к $3 (u_{1})$ .

$\int 3 u_{1} (3^{2} {u_{1}}^{2} + 7) d u_{1}$

Этап 3.3

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\int 3 u_{1} (9 {u_{1}}^{2} + 7) d u_{1}$

Этап 4

Пусть $u_{2} = 9 {u_{1}}^{2} + 7$ . Тогда $d u_{2} = 18 u_{1} d u_{1}$ , следовательно $\frac{1}{18} d u_{2} = u_{1} d u_{1}$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Пусть $u_{2} = 9 {u_{1}}^{2} + 7$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Дифференцируем $9 {u_{1}}^{2} + 7$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [9 {u_{1}}^{2} + 7]$

Этап 4.1.2

По правилу суммы производная $9 {u_{1}}^{2} + 7$ по $u_{1}$ имеет вид $\frac{d}{d u_{1}} [9 {u_{1}}^{2}] + \frac{d}{d u_{1}} [7]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [9 {u_{1}}^{2}] + \frac{d}{d u_{1}} [7]$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d u_{1}} [9 {u_{1}}^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $9$ является константой относительно $u_{1}$ , производная $9 {u_{1}}^{2}$ по $u_{1}$ равна $9 \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$ .

$9 \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] + \frac{d}{d u_{1}} [7]$

Этап 4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$9 (2 u_{1}) + \frac{d}{d u_{1}} [7]$

Этап 4.1.3.3

Умножим $2$ на $9$ .

$18 u_{1} + \frac{d}{d u_{1}} [7]$

Этап 4.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Поскольку $7$ является константой относительно $u_{1}$ , производная $7$ относительно $u_{1}$ равна $0$ .

$18 u_{1} + 0$

Этап 4.1.4.2

Добавим $18 u_{1}$ и $0$ .

$18 u_{1}$

Этап 4.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$\int 3 u_{2} \frac{1}{18} d u_{2}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим $\frac{1}{18}$ и $3$ .

$\int \frac{3}{18} u_{2} d u_{2}$

Этап 5.2

Объединим $\frac{3}{18}$ и $u_{2}$ .

$\int \frac{3 u_{2}}{18} d u_{2}$

Этап 5.3

Сократим общий множитель $3$ и $18$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вынесем множитель $3$ из $3 u_{2}$ .

$\int \frac{3 (u_{2})}{18} d u_{2}$

Этап 5.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $18$ .

$\int \frac{3 u_{2}}{3 \cdot 6} d u_{2}$

Этап 5.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\int \frac{3 u_{2}}{3 \cdot 6} d u_{2}$

Этап 5.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\int \frac{u_{2}}{6} d u_{2}$

Этап 6

Поскольку $\frac{1}{6}$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $\frac{1}{6}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{6} \int u_{2} d u_{2}$

Этап 7

По правилу степени интеграл $u_{2}$ по $u_{2}$ имеет вид $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{6} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Перепишем $\frac{1}{6} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$ в виде $\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

Этап 8.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Умножим $\frac{1}{6}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{6 \cdot 2} {u_{2}}^{2} + C$

Этап 8.2.2

Умножим $6$ на $2$ .

$\frac{1}{12} {u_{2}}^{2} + C$

Этап 9

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $9 {u_{1}}^{2} + 7$ .

$\frac{1}{12} {(9 {u_{1}}^{2} + 7)}^{2} + C$

Этап 9.2

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\frac{x}{3}$ .

$\frac{1}{12} {(9 {(\frac{x}{3})}^{2} + 7)}^{2} + C$

Этап 10

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{12} {(9 {(\frac{1}{3} x)}^{2} + 7)}^{2} + C$