Математический анализ Примеры

$\int e^{\frac{2 x}{3}} d x$

Этап 1

Пусть $u = \frac{2 x}{3}$ . Тогда $d u = \frac{2}{3} d x$ , следовательно $\frac{3}{2} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = \frac{2 x}{3}$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $\frac{2 x}{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 x}{3}]$

Этап 1.1.2

Поскольку $\frac{2}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{2 x}{3}$ по $x$ равна $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{2}{3} \cdot 1$

Этап 1.1.4

Умножим $\frac{2}{3}$ на $1$ .

$\frac{2}{3}$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int e^{u} \frac{1}{\frac{2}{3}} d u$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{2}{3}$ .

$\int e^{u} (1 (\frac{3}{2})) d u$

Этап 2.2

Умножим $\frac{3}{2}$ на $1$ .

$\int e^{u} \frac{3}{2} d u$

Этап 2.3

Объединим $e^{u}$ и $\frac{3}{2}$ .

$\int \frac{e^{u} \cdot 3}{2} d u$

Этап 2.4

Перенесем $3$ влево от $e^{u}$ .

$\int \frac{3 e^{u}}{2} d u$

Этап 3

Поскольку $\frac{3}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{3}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{3}{2} \int e^{u} d u$

Этап 4

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$\frac{3}{2} (e^{u} + C)$

Этап 5

Упростим.

$\frac{3}{2} e^{u} + C$

Этап 6

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{2 x}{3}$ .

$\frac{3}{2} e^{\frac{2 x}{3}} + C$

Этап 7

Изменим порядок членов.

$\frac{3}{2} e^{\frac{2}{3} x} + C$