Математический анализ Примеры

$\frac{12 \sqrt{x}}{4 x^{3}}$

Этап 1

Сократим общий множитель $12$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $4$ из $12 \sqrt{x}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 (3 \sqrt{x})}{4 x^{3}}]$

Этап 1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4 x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 (3 \sqrt{x})}{4 (x^{3})}]$

Этап 1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{d}{d x} [\frac{4 (3 \sqrt{x})}{4 x^{3}}]$

Этап 1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{d}{d x} [\frac{3 \sqrt{x}}{x^{3}}]$

Этап 2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{x^{3}}]$

Этап 2.2

Перенесем $x^{\frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{3} x^{- \frac{1}{2}}}]$

Этап 3

Умножим $x^{3}$ на $x^{- \frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{3 - \frac{1}{2}}}]$

Этап 3.2

Чтобы записать $3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{3 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}]$

Этап 3.3

Объединим $3$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{\frac{3 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}}}]$

Этап 3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{\frac{3 \cdot 2 - 1}{2}}}]$

Этап 3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{\frac{6 - 1}{2}}}]$

Этап 3.5.2

Вычтем $1$ из $6$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{\frac{5}{2}}}]$

Этап 4

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{3}{x^{\frac{5}{2}}}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{5}{2}}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{5}{2}}}]$

Этап 5

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем $\frac{1}{x^{\frac{5}{2}}}$ в виде ${(x^{\frac{5}{2}})}^{- 1}$ .

$3 \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{5}{2}})}^{- 1}]$

Этап 5.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{5}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2} \cdot - 1}]$

Этап 5.2.2

Умножим $\frac{5}{2} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Объединим $\frac{5}{2}$ и $- 1$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5 \cdot - 1}{2}}]$

Этап 5.2.2.2

Умножим $5$ на $- 1$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 5}{2}}]$

Этап 5.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$3 \frac{d}{d x} [x^{- \frac{5}{2}}]$

Этап 6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - \frac{5}{2}$ .

$3 (- \frac{5}{2} x^{- \frac{5}{2} - 1})$

Этап 7

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$3 (- \frac{5}{2} x^{- \frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Этап 8

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$3 (- \frac{5}{2} x^{- \frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 9

Объединим числители над общим знаменателем.

$3 (- \frac{5}{2} x^{\frac{- 5 - 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$3 (- \frac{5}{2} x^{\frac{- 5 - 2}{2}})$

Этап 10.2

Вычтем $2$ из $- 5$ .

$3 (- \frac{5}{2} x^{\frac{- 7}{2}})$

Этап 11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$3 (- \frac{5}{2} x^{- \frac{7}{2}})$

Этап 12

Объединим $x^{- \frac{7}{2}}$ и $\frac{5}{2}$ .

$3 (- \frac{x^{- \frac{7}{2}} \cdot 5}{2})$

Этап 13

Умножим $- 1$ на $3$ .

$- 3 \frac{x^{- \frac{7}{2}} \cdot 5}{2}$

Этап 14

Объединим $- 3$ и $\frac{x^{- \frac{7}{2}} \cdot 5}{2}$ .

$\frac{- 3 (x^{- \frac{7}{2}} \cdot 5)}{2}$

Этап 15

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Умножим $5$ на $- 3$ .

$\frac{- 15 x^{- \frac{7}{2}}}{2}$

Этап 15.2

Перенесем $x^{- \frac{7}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 15}{2 x^{\frac{7}{2}}}$

Этап 15.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{15}{2 x^{\frac{7}{2}}}$