Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 81} \frac{x (\sqrt{x} - 9)}{x - 81}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 81} x (\sqrt{x} - 9)}{lim_{x \to 81} x - 81}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $81$ .

$\frac{lim_{x \to 81} x \cdot lim_{x \to 81} \sqrt{x} - 9}{lim_{x \to 81} x - 81}$

Этап 1.1.2.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $81$ .

$\frac{lim_{x \to 81} x \cdot (lim_{x \to 81} \sqrt{x} - lim_{x \to 81} 9)}{lim_{x \to 81} x - 81}$

Этап 1.1.2.3

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{lim_{x \to 81} x \cdot (\sqrt{lim_{x \to 81} x} - lim_{x \to 81} 9)}{lim_{x \to 81} x - 81}$

Этап 1.1.2.4

Найдем предел $9$ , который является константой по мере приближения $x$ к $81$ .

$\frac{lim_{x \to 81} x \cdot (\sqrt{lim_{x \to 81} x} - 1 \cdot 9)}{lim_{x \to 81} x - 81}$

Этап 1.1.2.5

Найдем значения пределов, подставив значение $81$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $81$ для $x$ .

$\frac{81 \cdot (\sqrt{lim_{x \to 81} x} - 1 \cdot 9)}{lim_{x \to 81} x - 81}$

Этап 1.1.2.5.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $81$ для $x$ .

$\frac{81 \cdot (\sqrt{81} - 1 \cdot 9)}{lim_{x \to 81} x - 81}$

Этап 1.1.2.6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.6.1.1

Перепишем $81$ в виде $9^{2}$ .

$\frac{81 \cdot (\sqrt{9^{2}} - 1 \cdot 9)}{lim_{x \to 81} x - 81}$

Этап 1.1.2.6.1.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{81 \cdot (9 - 1 \cdot 9)}{lim_{x \to 81} x - 81}$

Этап 1.1.2.6.1.3

Умножим $- 1$ на $9$ .

$\frac{81 \cdot (9 - 9)}{lim_{x \to 81} x - 81}$

Этап 1.1.2.6.2

Вычтем $9$ из $9$ .

$\frac{81 \cdot 0}{lim_{x \to 81} x - 81}$

Этап 1.1.2.6.3

Умножим $81$ на $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 81} x - 81}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $81$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 81} x - lim_{x \to 81} 81}$

Этап 1.1.3.1.2

Найдем предел $81$ , который является константой по мере приближения $x$ к $81$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 81} x - 1 \cdot 81}$

Этап 1.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $81$ для $x$ .

$\frac{0}{81 - 1 \cdot 81}$

Этап 1.1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1

Умножим $- 1$ на $81$ .

$\frac{0}{81 - 81}$

Этап 1.1.3.3.2

Вычтем $81$ из $81$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 81} \frac{x (\sqrt{x} - 9)}{x - 81} = lim_{x \to 81} \frac{\frac{d}{d x} [x (\sqrt{x} - 9)]}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 81} \frac{\frac{d}{d x} [x (\sqrt{x} - 9)]}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

Этап 1.3.2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 81} \frac{\frac{d}{d x} [x (x^{\frac{1}{2}} - 9)]}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

Этап 1.3.3

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = x^{\frac{1}{2}} - 9$ .

$lim_{x \to 81} \frac{x \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} - 9] + (x^{\frac{1}{2}} - 9) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

Этап 1.3.4

По правилу суммы производная $x^{\frac{1}{2}} - 9$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$lim_{x \to 81} \frac{x (\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 9]) + (x^{\frac{1}{2}} - 9) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

Этап 1.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 81} \frac{x (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [- 9]) + (x^{\frac{1}{2}} - 9) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

Этап 1.3.6

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 81} \frac{x (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 9]) + (x^{\frac{1}{2}} - 9) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

Этап 1.3.7

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 81} \frac{x (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 9]) + (x^{\frac{1}{2}} - 9) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

Этап 1.3.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to 81} \frac{x (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 9]) + (x^{\frac{1}{2}} - 9) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

Этап 1.3.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.9.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$lim_{x \to 81} \frac{x (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 9]) + (x^{\frac{1}{2}} - 9) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

Этап 1.3.9.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$lim_{x \to 81} \frac{x (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 9]) + (x^{\frac{1}{2}} - 9) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

Этап 1.3.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{x \to 81} \frac{x (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 9]) + (x^{\frac{1}{2}} - 9) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

Этап 1.3.11

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 81} \frac{x (\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 9]) + (x^{\frac{1}{2}} - 9) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

Этап 1.3.12

Перенесем $x^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 81} \frac{x (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 9]) + (x^{\frac{1}{2}} - 9) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

Этап 1.3.13

Поскольку $- 9$ является константой относительно $x$ , производная $- 9$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 81} \frac{x (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0) + (x^{\frac{1}{2}} - 9) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

Этап 1.3.14

Добавим $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ и $0$ .

$lim_{x \to 81} \frac{x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (x^{\frac{1}{2}} - 9) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

Этап 1.3.15

Объединим $x$ и $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$lim_{x \to 81} \frac{\frac{x}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (x^{\frac{1}{2}} - 9) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

Этап 1.3.16

Перенесем $x^{\frac{1}{2}}$ в числитель, используя правило отрицательных степеней $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$lim_{x \to 81} \frac{\frac{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} + (x^{\frac{1}{2}} - 9) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

Этап 1.3.17

Умножим $x$ на $x^{- \frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.17.1

Умножим $x$ на $x^{- \frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.17.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$lim_{x \to 81} \frac{\frac{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}}{2} + (x^{\frac{1}{2}} - 9) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

Этап 1.3.17.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$lim_{x \to 81} \frac{\frac{x^{1 - \frac{1}{2}}}{2} + (x^{\frac{1}{2}} - 9) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

Этап 1.3.17.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$lim_{x \to 81} \frac{\frac{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2} + (x^{\frac{1}{2}} - 9) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

Этап 1.3.17.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to 81} \frac{\frac{x^{\frac{2 - 1}{2}}}{2} + (x^{\frac{1}{2}} - 9) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

Этап 1.3.17.4

Вычтем $1$ из $2$ .

$lim_{x \to 81} \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + (x^{\frac{1}{2}} - 9) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

Этап 1.3.18

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 81} \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + (x^{\frac{1}{2}} - 9) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

Этап 1.3.19

Умножим $x^{\frac{1}{2}} - 9$ на $1$ .

$lim_{x \to 81} \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + x^{\frac{1}{2}} - 9}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

Этап 1.3.20

Чтобы записать $x^{\frac{1}{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 81} \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2} - 9}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

Этап 1.3.21

Объединим $x^{\frac{1}{2}}$ и $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 81} \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} - 9}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

Этап 1.3.22

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to 81} \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} - 9}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

Этап 1.3.23

Перенесем $2$ влево от $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 81} \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} + 2 \cdot x^{\frac{1}{2}}}{2} - 9}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

Этап 1.3.24

Добавим $x^{\frac{1}{2}}$ и $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 81} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - 9}{\frac{d}{d x} [x - 81]}$

Этап 1.3.25

По правилу суммы производная $x - 81$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 81]$ .

$lim_{x \to 81} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - 9}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 81]}$

Этап 1.3.26

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 81} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - 9}{1 + \frac{d}{d x} [- 81]}$

Этап 1.3.27

Поскольку $- 81$ является константой относительно $x$ , производная $- 81$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 81} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - 9}{1 + 0}$

Этап 1.3.28

Добавим $1$ и $0$ .

$lim_{x \to 81} \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - 9}{1}$

Этап 1.4

Перепишем $x^{\frac{1}{2}}$ в виде $\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to 81} \frac{\frac{3 \sqrt{x}}{2} - 9}{1}$

Этап 1.5

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Чтобы записать $- 9$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 81} \frac{\frac{3 \sqrt{x}}{2} - 9 \cdot \frac{2}{2}}{1}$

Этап 1.5.2

Объединим $- 9$ и $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 81} \frac{\frac{3 \sqrt{x}}{2} + \frac{- 9 \cdot 2}{2}}{1}$

Этап 1.5.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to 81} \frac{\frac{3 \sqrt{x} - 9 \cdot 2}{2}}{1}$

Этап 1.6

Разделим $\frac{3 \sqrt{x} - 9 \cdot 2}{2}$ на $1$ .

$lim_{x \to 81} \frac{3 \sqrt{x} - 9 \cdot 2}{2}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем член $\frac{1}{2}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 81} 3 \sqrt{x} - 9 \cdot 2$

Этап 2.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $81$ .

$\frac{1}{2} (lim_{x \to 81} 3 \sqrt{x} - lim_{x \to 81} 9 \cdot 2)$

Этап 2.3

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{2} (3 lim_{x \to 81} \sqrt{x} - lim_{x \to 81} 9 \cdot 2)$

Этап 2.4

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{1}{2} (3 \sqrt{lim_{x \to 81} x} - lim_{x \to 81} 9 \cdot 2)$

Этап 2.5

Найдем предел $9 \cdot 2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $81$ .

$\frac{1}{2} (3 \sqrt{lim_{x \to 81} x} - 9 \cdot 2)$

Этап 3

Найдем предел $x$ , подставив значение $81$ для $x$ .

$\frac{1}{2} (3 \sqrt{81} - 9 \cdot 2)$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Перепишем $81$ в виде $9^{2}$ .

$\frac{1}{2} (3 \sqrt{9^{2}} - 9 \cdot 2)$

Этап 4.1.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{1}{2} (3 \cdot 9 - 9 \cdot 2)$

Этап 4.1.3

Умножим $3$ на $9$ .

$\frac{1}{2} (27 - 9 \cdot 2)$

Этап 4.1.4

Умножим $- 9$ на $2$ .

$\frac{1}{2} (27 - 18)$

Этап 4.2

Вычтем $18$ из $27$ .

$\frac{1}{2} \cdot 9$

Этап 4.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $9$ .

$\frac{9}{2}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{9}{2}$

Десятичная форма:

$4.5$