Математический анализ Примеры

$\int (5 + 5 x + 6 x^{- 3}) d x$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$\int 5 + 5 x + 6 x^{- 3} d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 5 d x + \int 5 x d x + \int 6 x^{- 3} d x$

Этап 3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$5 x + C + \int 5 x d x + \int 6 x^{- 3} d x$

Этап 4

Поскольку $5$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $5$ из-под знака интеграла.

$5 x + C + 5 \int x d x + \int 6 x^{- 3} d x$

Этап 5

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$5 x + C + 5 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 6 x^{- 3} d x$

Этап 6

Поскольку $6$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $6$ из-под знака интеграла.

$5 x + C + 5 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 6 \int x^{- 3} d x$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x^{- 3}$ по $x$ имеет вид $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$5 x + C + 5 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 6 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C)$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$5 x + C + 5 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 6 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C)$

Этап 8.1.2

Объединим $x^{- 2}$ и $\frac{1}{2}$ .

$5 x + C + 5 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 6 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C)$

Этап 8.1.3

Перенесем $x^{- 2}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$5 x + C + 5 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C)$

Этап 8.2

Упростим.

$5 x + \frac{5 x^{2}}{2} + 6 (- \frac{1}{2 x^{2}}) + C$

Этап 8.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Умножим $- 1$ на $6$ .

$5 x + \frac{5 x^{2}}{2} - 6 \frac{1}{2 x^{2}} + C$

Этап 8.3.2

Объединим $- 6$ и $\frac{1}{2 x^{2}}$ .

$5 x + \frac{5 x^{2}}{2} + \frac{- 6}{2 x^{2}} + C$

Этап 8.3.3

Сократим общий множитель $- 6$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.3.1

Вынесем множитель $2$ из $- 6$ .

$5 x + \frac{5 x^{2}}{2} + \frac{2 \cdot - 3}{2 x^{2}} + C$

Этап 8.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{2}$ .

$5 x + \frac{5 x^{2}}{2} + \frac{2 \cdot - 3}{2 (x^{2})} + C$

Этап 8.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$5 x + \frac{5 x^{2}}{2} + \frac{2 \cdot - 3}{2 x^{2}} + C$

Этап 8.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$5 x + \frac{5 x^{2}}{2} + \frac{- 3}{x^{2}} + C$

Этап 8.3.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$5 x + \frac{5 x^{2}}{2} - \frac{3}{x^{2}} + C$

Этап 8.4

Изменим порядок членов.

$5 x + \frac{5}{2} x^{2} - \frac{3}{x^{2}} + C$