Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 6} \frac{x^{2} + 4}{\sqrt{2 x + 5}}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $6$ .

$\frac{lim_{x \to 6} x^{2} + 4}{lim_{x \to 6} \sqrt{2 x + 5}}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $6$ .

$\frac{lim_{x \to 6} x^{2} + lim_{x \to 6} 4}{lim_{x \to 6} \sqrt{2 x + 5}}$

Этап 3

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to 6} x)}^{2} + lim_{x \to 6} 4}{lim_{x \to 6} \sqrt{2 x + 5}}$

Этап 4

Найдем предел $4$ , который является константой по мере приближения $x$ к $6$ .

$\frac{{(lim_{x \to 6} x)}^{2} + 4}{lim_{x \to 6} \sqrt{2 x + 5}}$

Этап 5

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{{(lim_{x \to 6} x)}^{2} + 4}{\sqrt{lim_{x \to 6} 2 x + 5}}$

Этап 6

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $6$ .

$\frac{{(lim_{x \to 6} x)}^{2} + 4}{\sqrt{lim_{x \to 6} 2 x + lim_{x \to 6} 5}}$

Этап 7

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 6} x)}^{2} + 4}{\sqrt{2 lim_{x \to 6} x + lim_{x \to 6} 5}}$

Этап 8

Найдем предел $5$ , который является константой по мере приближения $x$ к $6$ .

$\frac{{(lim_{x \to 6} x)}^{2} + 4}{\sqrt{2 lim_{x \to 6} x + 5}}$

Этап 9

Найдем значения пределов, подставив значение $6$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $6$ для $x$ .

$\frac{6^{2} + 4}{\sqrt{2 lim_{x \to 6} x + 5}}$

Этап 9.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $6$ для $x$ .

$\frac{6^{2} + 4}{\sqrt{2 \cdot 6 + 5}}$

Этап 10

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Возведем $6$ в степень $2$ .

$\frac{36 + 4}{\sqrt{2 \cdot 6 + 5}}$

Этап 10.1.2

Добавим $36$ и $4$ .

$\frac{40}{\sqrt{2 \cdot 6 + 5}}$

Этап 10.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Умножим $2$ на $6$ .

$\frac{40}{\sqrt{12 + 5}}$

Этап 10.2.2

Добавим $12$ и $5$ .

$\frac{40}{\sqrt{17}}$

Этап 10.3

Умножим $\frac{40}{\sqrt{17}}$ на $\frac{\sqrt{17}}{\sqrt{17}}$ .

$\frac{40}{\sqrt{17}} \cdot \frac{\sqrt{17}}{\sqrt{17}}$

Этап 10.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Умножим $\frac{40}{\sqrt{17}}$ на $\frac{\sqrt{17}}{\sqrt{17}}$ .

$\frac{40 \sqrt{17}}{\sqrt{17} \sqrt{17}}$

Этап 10.4.2

Возведем $\sqrt{17}$ в степень $1$ .

$\frac{40 \sqrt{17}}{{\sqrt{17}}^{1} \sqrt{17}}$

Этап 10.4.3

Возведем $\sqrt{17}$ в степень $1$ .

$\frac{40 \sqrt{17}}{{\sqrt{17}}^{1} {\sqrt{17}}^{1}}$

Этап 10.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{40 \sqrt{17}}{{\sqrt{17}}^{1 + 1}}$

Этап 10.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{40 \sqrt{17}}{{\sqrt{17}}^{2}}$

Этап 10.4.6

Перепишем ${\sqrt{17}}^{2}$ в виде $17$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{17}$ в виде $17^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{40 \sqrt{17}}{{(17^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 10.4.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{40 \sqrt{17}}{17^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 10.4.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{40 \sqrt{17}}{17^{\frac{2}{2}}}$

Этап 10.4.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{40 \sqrt{17}}{17^{\frac{2}{2}}}$

Этап 10.4.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{40 \sqrt{17}}{17^{1}}$

Этап 10.4.6.5

Найдем экспоненту.

$\frac{40 \sqrt{17}}{17}$

Этап 11

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{40 \sqrt{17}}{17}$

Десятичная форма:

$9.70142500 \dots$