Математический анализ Примеры

$e^{x - e} + \ln (x) - \frac{x}{e}$

Этап 1

По правилу суммы производная $e^{x - e} + \ln (x) - \frac{x}{e}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [e^{x - e}] + \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{e}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x - e}] + \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{e}]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [e^{x - e}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = x - e$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x - e$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x - e] + \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{e}]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [x - e] + \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{e}]$

Этап 2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x - e$ .

$e^{x - e} \frac{d}{d x} [x - e] + \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{e}]$

Этап 2.2

По правилу суммы производная $x - e$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- e]$ .

$e^{x - e} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- e]) + \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{e}]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e^{x - e} (1 + \frac{d}{d x} [- e]) + \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{e}]$

Этап 2.4

Поскольку $- e$ является константой относительно $x$ , производная $- e$ относительно $x$ равна $0$ .

$e^{x - e} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{e}]$

Этап 2.5

Добавим $1$ и $0$ .

$e^{x - e} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{e}]$

Этап 2.6

Умножим $e^{x - e}$ на $1$ .

$e^{x - e} + \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{e}]$

Этап 3

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$e^{x - e} + \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{e}]$

Этап 4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{x}{e}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $- \frac{1}{e}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{x}{e}$ по $x$ равна $- \frac{1}{e} \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{x - e} + \frac{1}{x} - \frac{1}{e} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e^{x - e} + \frac{1}{x} - \frac{1}{e} \cdot 1$

Этап 4.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$e^{x - e} + \frac{1}{x} - \frac{1}{e}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Чтобы записать $e^{x - e}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$\frac{e^{x - e} x}{x} + \frac{1}{x} - \frac{1}{e}$

Этап 5.1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{e^{x - e} x + 1}{x} - \frac{1}{e}$

Этап 5.1.3

Чтобы записать $\frac{e^{x - e} x + 1}{x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{e}{e}$ .

$\frac{e^{x - e} x + 1}{x} \cdot \frac{e}{e} - \frac{1}{e}$

Этап 5.1.4

Чтобы записать $- \frac{1}{e}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$\frac{e^{x - e} x + 1}{x} \cdot \frac{e}{e} - \frac{1}{e} \cdot \frac{x}{x}$

Этап 5.1.5

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $x e$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.5.1

Умножим $\frac{e^{x - e} x + 1}{x}$ на $\frac{e}{e}$ .

$\frac{(e^{x - e} x + 1) e}{x e} - \frac{1}{e} \cdot \frac{x}{x}$

Этап 5.1.5.2

Умножим $\frac{1}{e}$ на $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(e^{x - e} x + 1) e}{x e} - \frac{x}{e x}$

Этап 5.1.5.3

Изменим порядок множителей в $x e$ .

$\frac{(e^{x - e} x + 1) e}{e x} - \frac{x}{e x}$

Этап 5.1.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{(e^{x - e} x + 1) e - x}{e x}$

Этап 5.2

Изменим порядок членов.

$\frac{e (e^{x - e} x + 1) - x}{e x}$