Математический анализ Примеры

$20 {(1 + e^{10 - t})}^{- 1}$

Этап 1

Поскольку $20$ является константой относительно $t$ , производная $20 {(1 + e^{10 - t})}^{- 1}$ по $t$ равна $20 \frac{d}{d t} [{(1 + e^{10 - t})}^{- 1}]$ .

$20 \frac{d}{d t} [{(1 + e^{10 - t})}^{- 1}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = t^{- 1}$ и $g (t) = 1 + e^{10 - t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $1 + e^{10 - t}$ .

$20 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d t} [1 + e^{10 - t}])$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$20 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + e^{10 - t}])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $1 + e^{10 - t}$ .

$20 (- {(1 + e^{10 - t})}^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + e^{10 - t}])$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $- 1$ на $20$ .

$- 20 ({(1 + e^{10 - t})}^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + e^{10 - t}])$

Этап 3.2

По правилу суммы производная $1 + e^{10 - t}$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [e^{10 - t}]$ .

$- 20 {(1 + e^{10 - t})}^{- 2} (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [e^{10 - t}])$

Этап 3.3

Поскольку $1$ является константой относительно $t$ , производная $1$ относительно $t$ равна $0$ .

$- 20 {(1 + e^{10 - t})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d t} [e^{10 - t}])$

Этап 3.4

Добавим $0$ и $\frac{d}{d t} [e^{10 - t}]$ .

$- 20 {(1 + e^{10 - t})}^{- 2} \frac{d}{d t} [e^{10 - t}]$

Этап 4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $10 - t$ .

$- 20 {(1 + e^{10 - t})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [10 - t])$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ имеет вид $a^{u_{2}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$- 20 {(1 + e^{10 - t})}^{- 2} (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [10 - t])$

Этап 4.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $10 - t$ .

$- 20 {(1 + e^{10 - t})}^{- 2} (e^{10 - t} \frac{d}{d t} [10 - t])$

Этап 5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

По правилу суммы производная $10 - t$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [10] + \frac{d}{d t} [- t]$ .

$- 20 {(1 + e^{10 - t})}^{- 2} (e^{10 - t} (\frac{d}{d t} [10] + \frac{d}{d t} [- t]))$

Этап 5.2

Поскольку $10$ является константой относительно $t$ , производная $10$ относительно $t$ равна $0$ .

$- 20 {(1 + e^{10 - t})}^{- 2} (e^{10 - t} (0 + \frac{d}{d t} [- t]))$

Этап 5.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d t} [- t]$ .

$- 20 {(1 + e^{10 - t})}^{- 2} (e^{10 - t} \frac{d}{d t} [- t])$

Этап 5.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $t$ , производная $- t$ по $t$ равна $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$- 20 {(1 + e^{10 - t})}^{- 2} (e^{10 - t} (- \frac{d}{d t} [t]))$

Этап 5.5

Умножим $- 1$ на $- 20$ .

$20 {(1 + e^{10 - t})}^{- 2} (e^{10 - t} (\frac{d}{d t} [t]))$

Этап 5.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$20 {(1 + e^{10 - t})}^{- 2} (e^{10 - t} \cdot 1)$

Этап 5.7

Умножим $e^{10 - t}$ на $1$ .

$20 {(1 + e^{10 - t})}^{- 2} e^{10 - t}$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$20 \frac{1}{{(1 + e^{10 - t})}^{2}} e^{10 - t}$

Этап 6.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Объединим $20$ и $\frac{1}{{(1 + e^{10 - t})}^{2}}$ .

$\frac{20}{{(1 + e^{10 - t})}^{2}} e^{10 - t}$

Этап 6.2.2

Объединим $\frac{20}{{(1 + e^{10 - t})}^{2}}$ и $e^{10 - t}$ .

$\frac{20 e^{10 - t}}{{(1 + e^{10 - t})}^{2}}$