Математический анализ Примеры

$\int 3^{2 - 5 x} d x$

Этап 1

Пусть $u = 2 - 5 x$ . Тогда $d u = - 5 d x$ , следовательно $- \frac{1}{5} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = 2 - 5 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $2 - 5 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 - 5 x]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

По правилу суммы производная $2 - 5 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Этап 1.1.2.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5 x$ по $x$ равна $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 5 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 - 5 \cdot 1$

Этап 1.1.3.3

Умножим $- 5$ на $1$ .

$0 - 5$

Этап 1.1.4

Вычтем $5$ из $0$ .

$- 5$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int 3^{u} \cdot \frac{1}{- 5} d u$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int 3^{u} \cdot (- \frac{1}{5}) d u$

Этап 2.2

Объединим $3^{u}$ и $\frac{1}{5}$ .

$\int - \frac{3^{u}}{5} d u$

Этап 3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int \frac{3^{u}}{5} d u$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{5}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{5}$ из-под знака интеграла.

$- (\frac{1}{5} \int 3^{u} d u)$

Этап 5

Интеграл $3^{u}$ по $u$ имеет вид $\frac{3^{u}}{\ln (3)}$ .

$- \frac{1}{5} (\frac{3^{u}}{\ln (3)} + C)$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем $- \frac{1}{5} (\frac{3^{u}}{\ln (3)} + C)$ в виде $- \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{\ln (3)} \cdot 3^{u} + C$ .

$- \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{\ln (3)} \cdot 3^{u} + C$

Этап 6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Умножим $\frac{1}{\ln (3)}$ на $\frac{1}{5}$ .

$- \frac{1}{\ln (3) \cdot 5} \cdot 3^{u} + C$

Этап 6.2.2

Перенесем $5$ влево от $\ln (3)$ .

$- \frac{1}{5 \ln (3)} \cdot 3^{u} + C$

Этап 7

Заменим все вхождения $u$ на $2 - 5 x$ .

$- \frac{1}{5 \ln (3)} \cdot 3^{2 - 5 x} + C$