Математический анализ Примеры

$\frac{x - 1}{\sqrt[3]{x}}$

Этап 1

Запишем $\frac{x - 1}{\sqrt[3]{x}}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{x - 1}{\sqrt[3]{x}}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \frac{x - 1}{\sqrt[3]{x}} d x$

Этап 4

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\int \frac{x - 1}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

Этап 5

Вынесем $x^{\frac{1}{3}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int (x - 1) {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d x$

Этап 6

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (x - 1) x^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d x$

Этап 6.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $- 1$ .

$\int (x - 1) x^{\frac{- 1}{3}} d x$

Этап 6.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int (x - 1) x^{- \frac{1}{3}} d x$

Этап 7

Развернем $(x - 1) x^{- \frac{1}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int x \cdot x^{- \frac{1}{3}} - 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Этап 7.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\int x^{1} x^{- \frac{1}{3}} - 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Этап 7.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int x^{1 - \frac{1}{3}} - 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Этап 7.4

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\int x^{\frac{3}{3} - \frac{1}{3}} - 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Этап 7.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\int x^{\frac{3 - 1}{3}} - 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Этап 7.6

Вычтем $1$ из $3$ .

$\int x^{\frac{2}{3}} - 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Этап 8

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int x^{\frac{2}{3}} d x + \int - 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Этап 9

По правилу степени интеграл $x^{\frac{2}{3}}$ по $x$ имеет вид $\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}}$ .

$\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C + \int - 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Этап 10

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C - \int x^{- \frac{1}{3}} d x$

Этап 11

По правилу степени интеграл $x^{- \frac{1}{3}}$ по $x$ имеет вид $\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C - (\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C)$

Этап 12

Упростим.

$\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} - \frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C$

Этап 13

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \frac{x - 1}{\sqrt[3]{x}}$ .

$F (x) =$ $\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} - \frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C$