Математический анализ Примеры

$\int {(2 + y^{2})}^{2} d y$

Этап 1

Развернем ${(2 + y^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем ${(2 + y^{2})}^{2}$ в виде $(2 + y^{2}) (2 + y^{2})$ .

$\int (2 + y^{2}) (2 + y^{2}) d y$

Этап 1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\int 2 (2 + y^{2}) + y^{2} (2 + y^{2}) d y$

Этап 1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\int 2 \cdot 2 + 2 y^{2} + y^{2} (2 + y^{2}) d y$

Этап 1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\int 2 \cdot 2 + 2 y^{2} + y^{2} \cdot 2 + y^{2} y^{2} d y$

Этап 1.5

Изменим порядок $y^{2}$ и $2$ .

$\int 2 \cdot 2 + 2 y^{2} + 2 \cdot y^{2} + y^{2} y^{2} d y$

Этап 1.6

Умножим $2$ на $2$ .

$\int 4 + 2 y^{2} + 2 y^{2} + y^{2} y^{2} d y$

Этап 1.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int 4 + 2 y^{2} + 2 y^{2} + y^{2 + 2} d y$

Этап 1.8

Добавим $2$ и $2$ .

$\int 4 + 2 y^{2} + 2 y^{2} + y^{4} d y$

Этап 1.9

Добавим $2 y^{2}$ и $2 y^{2}$ .

$\int 4 + 4 y^{2} + y^{4} d y$

Этап 1.10

Изменим порядок $4 y^{2}$ и $y^{4}$ .

$\int 4 + y^{4} + 4 y^{2} d y$

Этап 1.11

Перенесем $4$ .

$\int y^{4} + 4 y^{2} + 4 d y$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int y^{4} d y + \int 4 y^{2} d y + \int 4 d y$

Этап 3

По правилу степени интеграл $y^{4}$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{5} y^{5}$ .

$\frac{1}{5} y^{5} + C + \int 4 y^{2} d y + \int 4 d y$

Этап 4

Поскольку $4$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{5} y^{5} + C + 4 \int y^{2} d y + \int 4 d y$

Этап 5

По правилу степени интеграл $y^{2}$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{5} y^{5} + C + 4 (\frac{1}{3} y^{3} + C) + \int 4 d y$

Этап 6

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{5} y^{5} + C + 4 (\frac{1}{3} y^{3} + C) + 4 y + C$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $y^{3}$ .

$\frac{1}{5} y^{5} + C + 4 (\frac{y^{3}}{3} + C) + 4 y + C$

Этап 7.2

Упростим.

$\frac{y^{5}}{5} + \frac{4 y^{3}}{3} + 4 y + C$

Этап 7.3

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{5} y^{5} + \frac{4}{3} y^{3} + 4 y + C$