Математический анализ Примеры

$\sin^{2} (2 x^{3} + 3 x)$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = \sin (2 x^{3} + 3 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\sin (2 x^{3} + 3 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (2 x^{3} + 3 x)]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sin (2 x^{3} + 3 x)]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\sin (2 x^{3} + 3 x)$ .

$2 \sin (2 x^{3} + 3 x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x^{3} + 3 x)]$

Этап 2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $2 x^{3} + 3 x$ .

$2 \sin (2 x^{3} + 3 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 3 x])$

Этап 2.2

Производная $\sin (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\cos (u_{2})$ .

$2 \sin (2 x^{3} + 3 x) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 3 x])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $2 x^{3} + 3 x$ .

$2 \sin (2 x^{3} + 3 x) (\cos (2 x^{3} + 3 x) \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 3 x])$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $2 x^{3} + 3 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x]$ .

$2 \sin (2 x^{3} + 3 x) \cos (2 x^{3} + 3 x) (\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x])$

Этап 3.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{3}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \sin (2 x^{3} + 3 x) \cos (2 x^{3} + 3 x) (2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x])$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$2 \sin (2 x^{3} + 3 x) \cos (2 x^{3} + 3 x) (2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 x])$

Этап 3.4

Умножим $3$ на $2$ .

$2 \sin (2 x^{3} + 3 x) \cos (2 x^{3} + 3 x) (6 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x])$

Этап 3.5

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \sin (2 x^{3} + 3 x) \cos (2 x^{3} + 3 x) (6 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \sin (2 x^{3} + 3 x) \cos (2 x^{3} + 3 x) (6 x^{2} + 3 \cdot 1)$

Этап 3.7

Умножим $3$ на $1$ .

$2 \sin (2 x^{3} + 3 x) \cos (2 x^{3} + 3 x) (6 x^{2} + 3)$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Изменим порядок множителей в $2 \sin (2 x^{3} + 3 x) \cos (2 x^{3} + 3 x) (6 x^{2} + 3)$ .

$2 \cos (2 x^{3} + 3 x) \sin (2 x^{3} + 3 x) (6 x^{2} + 3)$

Этап 4.2

Изменим порядок $2 \cos (2 x^{3} + 3 x)$ и $\sin (2 x^{3} + 3 x)$ .

$\sin (2 x^{3} + 3 x) (2 \cos (2 x^{3} + 3 x)) (6 x^{2} + 3)$

Этап 4.3

Изменим порядок $\sin (2 x^{3} + 3 x)$ и $2$ .

$2 \cdot \sin (2 x^{3} + 3 x) \cos (2 x^{3} + 3 x) (6 x^{2} + 3)$

Этап 4.4

Применим формулу двойного угла для синуса.

$\sin (2 (2 x^{3} + 3 x)) (6 x^{2} + 3)$

Этап 4.5

Применим свойство дистрибутивности.

$\sin (2 (2 x^{3}) + 2 (3 x)) (6 x^{2} + 3)$

Этап 4.6

Умножим $2$ на $2$ .

$\sin (4 x^{3} + 2 (3 x)) (6 x^{2} + 3)$

Этап 4.7

Умножим $3$ на $2$ .

$\sin (4 x^{3} + 6 x) (6 x^{2} + 3)$

Этап 4.8

Применим свойство дистрибутивности.

$\sin (4 x^{3} + 6 x) (6 x^{2}) + \sin (4 x^{3} + 6 x) \cdot 3$

Этап 4.9

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$6 \sin (4 x^{3} + 6 x) x^{2} + \sin (4 x^{3} + 6 x) \cdot 3$

Этап 4.10

Перенесем $3$ влево от $\sin (4 x^{3} + 6 x)$ .

$6 \sin (4 x^{3} + 6 x) x^{2} + 3 \cdot \sin (4 x^{3} + 6 x)$

Этап 4.11

Изменим порядок множителей в $6 \sin (4 x^{3} + 6 x) x^{2} + 3 \sin (4 x^{3} + 6 x)$ .

$6 x^{2} \sin (4 x^{3} + 6 x) + 3 \sin (4 x^{3} + 6 x)$