Математический анализ Примеры

f (x) = \frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{2}{3}

$f (x) = \frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{2}{3}$

Этап 1

Чтобы найти функцию

F (x)

$F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной

f (x)

$f (x)$ .

F (x) = \int f (x) d x

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 2

Составим интеграл, чтобы решить его.

F (x) = \int \frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{2}{3} d x

$F (x) = \int \frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{2}{3} d x$

Этап 3

Переведем

\frac{1}{\cos^{2} (x)}

$\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ в

\sec^{2} (x)

$\sec^{2} (x)$ .

\int \sec^{2} (x) - \frac{2}{3} d x

$\int \sec^{2} (x) - \frac{2}{3} d x$

Этап 4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

\int \sec^{2} (x) d x + \int - \frac{2}{3} d x

$\int \sec^{2} (x) d x + \int - \frac{2}{3} d x$

Этап 5

Поскольку производная

\tan (x)

$\tan (x)$ равна

\sec^{2} (x)

$\sec^{2} (x)$ , интеграл

\sec^{2} (x)

$\sec^{2} (x)$ равен

\tan (x)

$\tan (x)$ .

\tan (x) + C + \int - \frac{2}{3} d x

$\tan (x) + C + \int - \frac{2}{3} d x$

Этап 6

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

\tan (x) + C - \frac{2}{3} x + C

$\tan (x) + C - \frac{2}{3} x + C$

Этап 7

Упростим.

\tan (x) - \frac{2}{3} x + C

$\tan (x) - \frac{2}{3} x + C$

Этап 8

Ответ ― первообразная функции

f (x) = \frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{2}{3}

$f (x) = \frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{2}{3}$ .

F (x) =

$F (x) =$

\tan (x) - \frac{2}{3} x + C

$\tan (x) - \frac{2}{3} x + C$