Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{2}{3}$

Этап 1

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 2

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{2}{3} d x$

Этап 3

Переведем $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ в $\sec^{2} (x)$ .

$\int \sec^{2} (x) - \frac{2}{3} d x$

Этап 4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \sec^{2} (x) d x + \int - \frac{2}{3} d x$

Этап 5

Поскольку производная $\tan (x)$ равна $\sec^{2} (x)$ , интеграл $\sec^{2} (x)$ равен $\tan (x)$ .

$\tan (x) + C + \int - \frac{2}{3} d x$

Этап 6

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\tan (x) + C - \frac{2}{3} x + C$

Этап 7

Упростим.

$\tan (x) - \frac{2}{3} x + C$

Этап 8

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{2}{3}$ .

$F (x) =$ $\tan (x) - \frac{2}{3} x + C$