Математический анализ Примеры

$\int \frac{8 \sin^{3} (\sqrt{x})}{\sqrt{x}} d x$

Этап 1

Поскольку $8$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $8$ из-под знака интеграла.

$8 \int \frac{\sin^{3} (\sqrt{x})}{\sqrt{x}} d x$

Этап 2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$8 \int \frac{\sin^{3} (x^{\frac{1}{2}})}{\sqrt{x}} d x$

Этап 2.2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$8 \int \frac{\sin^{3} (x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Этап 2.3

Вынесем $x^{\frac{1}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$8 \int \sin^{3} (x^{\frac{1}{2}}) {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Этап 2.4

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 \int \sin^{3} (x^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Этап 2.4.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$8 \int \sin^{3} (x^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Этап 2.4.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$8 \int \sin^{3} (x^{\frac{1}{2}}) x^{- \frac{1}{2}} d x$

Этап 3

Пусть $u_{1} = x^{\frac{1}{2}}$ . Тогда $d u_{1} = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ , следовательно $- d u_{1} = \frac{- 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть $u_{1} = x^{\frac{1}{2}}$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Дифференцируем $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 3.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

Этап 3.1.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Этап 3.1.4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Этап 3.1.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Этап 3.1.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

Этап 3.1.6.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

Этап 3.1.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

Этап 3.1.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.8.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 3.1.8.2

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 3.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$8 \int 2 \sin^{3} (u_{1}) d u_{1}$

Этап 4

Поскольку $2$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$8 (2 \int \sin^{3} (u_{1}) d u_{1})$

Этап 5

Умножим $2$ на $8$ .

$16 \int \sin^{3} (u_{1}) d u_{1}$

Этап 6

Вынесем $\sin^{2} (u_{1})$ за скобки.

$16 \int \sin^{2} (u_{1}) \sin (u_{1}) d u_{1}$

Этап 7

Используя формулы Пифагора, запишем $\sin^{2} (u_{1})$ в виде $1 - \cos^{2} (u_{1})$ .

$16 \int (1 - \cos^{2} (u_{1})) \sin (u_{1}) d u_{1}$

Этап 8

Пусть $u_{2} = \cos (u_{1})$ . Тогда $d u_{2} = - \sin (u_{1}) d u_{1}$ , следовательно $- \frac{1}{\sin (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Пусть $u_{2} = \cos (u_{1})$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Дифференцируем $\cos (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})]$

Этап 8.1.2

Производная $\cos (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1})$

Этап 8.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$16 \int - 1 + {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Этап 9

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$16 (\int - 1 d u_{2} + \int {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Этап 10

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$16 (- u_{2} + C + \int {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Этап 11

По правилу степени интеграл ${u_{2}}^{2}$ по $u_{2}$ имеет вид $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ .

$16 (- u_{2} + C + \frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C)$

Этап 12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и ${u_{2}}^{3}$ .

$16 (- u_{2} + C + \frac{{u_{2}}^{3}}{3} + C)$

Этап 12.2

Упростим.

$16 (- u_{2} + \frac{1}{3} {u_{2}}^{3}) + C$

Этап 13

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $\cos (u_{1})$ .

$16 (- \cos (u_{1}) + \frac{1}{3} \cos^{3} (u_{1})) + C$

Этап 13.2

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x^{\frac{1}{2}}$ .

$16 (- \cos (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x^{\frac{1}{2}})) + C$

Этап 14

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $\cos^{3} (x^{\frac{1}{2}})$ .

$16 (- \cos (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{\cos^{3} (x^{\frac{1}{2}})}{3}) + C$

Этап 14.2

Применим свойство дистрибутивности.

$16 (- \cos (x^{\frac{1}{2}})) + 16 \frac{\cos^{3} (x^{\frac{1}{2}})}{3} + C$

Этап 14.3

Умножим $- 1$ на $16$ .

$- 16 \cos (x^{\frac{1}{2}}) + 16 \frac{\cos^{3} (x^{\frac{1}{2}})}{3} + C$

Этап 14.4

Объединим $16$ и $\frac{\cos^{3} (x^{\frac{1}{2}})}{3}$ .

$- 16 \cos (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{16 \cos^{3} (x^{\frac{1}{2}})}{3} + C$

Этап 15

Изменим порядок членов.

$- 16 \cos (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{16}{3} \cos^{3} (x^{\frac{1}{2}}) + C$