Математический анализ Примеры

$lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{x + 2 x^{2}}{x^{2} - \frac{1}{4}}$

Этап 1

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы записать $x^{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{x + 2 x^{2}}{x^{2} \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4}}$

Этап 1.2

Объединим $x^{2}$ и $\frac{4}{4}$ .

$lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{x + 2 x^{2}}{\frac{x^{2} \cdot 4}{4} - \frac{1}{4}}$

Этап 1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{x + 2 x^{2}}{\frac{x^{2} \cdot 4 - 1}{4}}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим выражение под знаком предела.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{x \to - \frac{1}{2}} (x + 2 x^{2}) \frac{4}{x^{2} \cdot 4 - 1}$

Этап 2.1.2

Умножим $x + 2 x^{2}$ на $\frac{4}{x^{2} \cdot 4 - 1}$ .

$lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{(x + 2 x^{2}) \cdot 4}{x^{2} \cdot 4 - 1}$

Этап 2.2

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{x + 2 x^{2}}{x^{2} \cdot 4 - 1}$

Этап 3

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$4 \frac{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x + 2 x^{2}}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2} \cdot 4 - 1}$

Этап 3.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- \frac{1}{2}$ .

$4 \frac{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x + lim_{x \to - \frac{1}{2}} 2 x^{2}}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2} \cdot 4 - 1}$

Этап 3.1.2.2

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$4 \frac{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x + 2 lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2}}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2} \cdot 4 - 1}$

Этап 3.1.2.3

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$4 \frac{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x + 2 {(lim_{x \to - \frac{1}{2}} x)}^{2}}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2} \cdot 4 - 1}$

Этап 3.1.2.4

Найдем значения пределов, подставив значение $- \frac{1}{2}$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.4.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $- \frac{1}{2}$ для $x$ .

$4 \frac{- \frac{1}{2} + 2 {(lim_{x \to - \frac{1}{2}} x)}^{2}}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2} \cdot 4 - 1}$

Этап 3.1.2.4.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $- \frac{1}{2}$ для $x$ .

$4 \frac{- \frac{1}{2} + 2 {(- \frac{1}{2})}^{2}}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2} \cdot 4 - 1}$

Этап 3.1.2.5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.5.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.5.1.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{1}{2}$ .

$4 \frac{- \frac{1}{2} + 2 {(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2} \cdot 4 - 1}$

Этап 3.1.2.5.1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$4 \frac{- \frac{1}{2} + 2 {(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{2^{2}}}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2} \cdot 4 - 1}$

Этап 3.1.2.5.1.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$4 \frac{- \frac{1}{2} + 2 \cdot 1 \frac{1^{2}}{2^{2}}}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2} \cdot 4 - 1}$

Этап 3.1.2.5.1.3

Умножим $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ на $1$ .

$4 \frac{- \frac{1}{2} + 2 \frac{1^{2}}{2^{2}}}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2} \cdot 4 - 1}$

Этап 3.1.2.5.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.5.1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2^{2}$ .

$4 \frac{- \frac{1}{2} + 2 \frac{1^{2}}{2 \cdot 2}}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2} \cdot 4 - 1}$

Этап 3.1.2.5.1.4.2

Сократим общий множитель.

$4 \frac{- \frac{1}{2} + 2 \frac{1^{2}}{2 \cdot 2}}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2} \cdot 4 - 1}$

Этап 3.1.2.5.1.4.3

Перепишем это выражение.

$4 \frac{- \frac{1}{2} + \frac{1^{2}}{2}}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2} \cdot 4 - 1}$

Этап 3.1.2.5.1.5

Единица в любой степени равна единице.

$4 \frac{- \frac{1}{2} + \frac{1}{2}}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2} \cdot 4 - 1}$

Этап 3.1.2.5.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$4 \frac{\frac{- 1 + 1}{2}}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2} \cdot 4 - 1}$

Этап 3.1.2.5.3

Добавим $- 1$ и $1$ .

$4 \frac{\frac{0}{2}}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2} \cdot 4 - 1}$

Этап 3.1.2.5.4

Разделим $0$ на $2$ .

$4 \frac{0}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2} \cdot 4 - 1}$

Этап 3.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- \frac{1}{2}$ .

$4 \frac{0}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2} \cdot 4 - lim_{x \to - \frac{1}{2}} 1}$

Этап 3.1.3.1.2

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$4 \frac{0}{4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} x^{2} - lim_{x \to - \frac{1}{2}} 1}$

Этап 3.1.3.1.3

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$4 \frac{0}{4 {(lim_{x \to - \frac{1}{2}} x)}^{2} - lim_{x \to - \frac{1}{2}} 1}$

Этап 3.1.3.1.4

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- \frac{1}{2}$ .

$4 \frac{0}{4 {(lim_{x \to - \frac{1}{2}} x)}^{2} - 1 \cdot 1}$

Этап 3.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $- \frac{1}{2}$ для $x$ .

$4 \frac{0}{4 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 1 \cdot 1}$

Этап 3.1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.3.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.3.1.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{1}{2}$ .

$4 \frac{0}{4 {(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2} - 1 \cdot 1}$

Этап 3.1.3.3.1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$4 \frac{0}{4 {(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{2^{2}} - 1 \cdot 1}$

Этап 3.1.3.3.1.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$4 \frac{0}{4 \cdot 1 \frac{1^{2}}{2^{2}} - 1 \cdot 1}$

Этап 3.1.3.3.1.3

Умножим $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ на $1$ .

$4 \frac{0}{4 \frac{1^{2}}{2^{2}} - 1 \cdot 1}$

Этап 3.1.3.3.1.4

Единица в любой степени равна единице.

$4 \frac{0}{4 \frac{1}{2^{2}} - 1 \cdot 1}$

Этап 3.1.3.3.1.5

Возведем $2$ в степень $2$ .

$4 \frac{0}{4 (\frac{1}{4}) - 1 \cdot 1}$

Этап 3.1.3.3.1.6

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.3.1.6.1

Сократим общий множитель.

$4 \frac{0}{4 (\frac{1}{4}) - 1 \cdot 1}$

Этап 3.1.3.3.1.6.2

Перепишем это выражение.

$4 \frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Этап 3.1.3.3.1.7

Умножим $- 1$ на $1$ .

$4 \frac{0}{1 - 1}$

Этап 3.1.3.3.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$4 (\frac{0}{0})$

Этап 3.1.3.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$4 (\frac{0}{0})$

Этап 3.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$4 (\frac{0}{0})$

Этап 3.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$4 (\frac{0}{0})$

Этап 3.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{x + 2 x^{2}}{x^{2} \cdot 4 - 1} = lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [x + 2 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 4 - 1]}$

Этап 3.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [x + 2 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 4 - 1]}$

Этап 3.3.2

По правилу суммы производная $x + 2 x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

$4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 4 - 1]}$

Этап 3.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{1 + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 4 - 1]}$

Этап 3.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{2}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{1 + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 4 - 1]}$

Этап 3.3.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{1 + 2 \cdot 2 x}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 4 - 1]}$

Этап 3.3.4.3

Умножим $2$ на $2$ .

$4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{1 + 4 x}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 4 - 1]}$

Этап 3.3.5

Изменим порядок членов.

$4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{4 x + 1}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 4 - 1]}$

Этап 3.3.6

По правилу суммы производная $x^{2} \cdot 4 - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 4] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{4 x + 1}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 4] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 3.3.7

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 4]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.7.1

Перенесем $4$ влево от $x^{2}$ .

$4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{4 x + 1}{\frac{d}{d x} [4 \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 3.3.7.2

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{2}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{4 x + 1}{4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 3.3.7.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{4 x + 1}{4 \cdot 2 x + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 3.3.7.4

Умножим $2$ на $4$ .

$4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{4 x + 1}{8 x + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 3.3.8

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{4 x + 1}{8 x + 0}$

Этап 3.3.9

Добавим $8 x$ и $0$ .

$4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{4 x + 1}{8 x}$

Этап 4

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем член $\frac{1}{8}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$4 (\frac{1}{8}) lim_{x \to - \frac{1}{2}} \frac{4 x + 1}{x}$

Этап 4.2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $- \frac{1}{2}$ .

$4 (\frac{1}{8}) \frac{lim_{x \to - \frac{1}{2}} 4 x + 1}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x}$

Этап 4.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- \frac{1}{2}$ .

$4 (\frac{1}{8}) \frac{lim_{x \to - \frac{1}{2}} 4 x + lim_{x \to - \frac{1}{2}} 1}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x}$

Этап 4.4

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$4 (\frac{1}{8}) \frac{4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} x + lim_{x \to - \frac{1}{2}} 1}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x}$

Этап 4.5

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- \frac{1}{2}$ .

$4 (\frac{1}{8}) \frac{4 lim_{x \to - \frac{1}{2}} x + 1}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x}$

Этап 5

Найдем значения пределов, подставив значение $- \frac{1}{2}$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $- \frac{1}{2}$ для $x$ .

$4 (\frac{1}{8}) \frac{4 (- \frac{1}{2}) + 1}{lim_{x \to - \frac{1}{2}} x}$

Этап 5.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $- \frac{1}{2}$ для $x$ .

$4 (\frac{1}{8}) \frac{4 (- \frac{1}{2}) + 1}{- \frac{1}{2}}$

Этап 6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$4 \frac{1}{4 (2)} \frac{4 (- \frac{1}{2}) + 1}{- \frac{1}{2}}$

Этап 6.1.2

Сократим общий множитель.

$4 \frac{1}{4 \cdot 2} \frac{4 (- \frac{1}{2}) + 1}{- \frac{1}{2}}$

Этап 6.1.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{4 (- \frac{1}{2}) + 1}{- \frac{1}{2}}$

Этап 6.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{1}{2} ((4 (- \frac{1}{2}) + 1) (- 1 \cdot 2))$

Этап 6.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Вынесем множитель $2$ из $(4 (- \frac{1}{2}) + 1) (- 1 \cdot 2)$ .

$\frac{1}{2} (2 ((4 (- \frac{1}{2}) + 1) \cdot (- 1)))$

Этап 6.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2} (2 ((4 (- \frac{1}{2}) + 1) \cdot (- 1)))$

Этап 6.3.3

Перепишем это выражение.

$(4 (- \frac{1}{2}) + 1) \cdot (- 1)$

Этап 6.4

Умножим $- 1$ на $4$ .

$(- 4 (\frac{1}{2}) + 1) \cdot - 1$

Этап 6.5

Объединим $- 4$ и $\frac{1}{2}$ .

$(\frac{- 4}{2} + 1) \cdot - 1$

Этап 6.6

Разделим $- 4$ на $2$ .

$(- 2 + 1) \cdot - 1$

Этап 6.7

Добавим $- 2$ и $1$ .

$- 1 \cdot - 1$

Этап 6.8

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1$