Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{3} {(x - 1)}^{2} + 2 d x$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{3} {(x - 1)}^{2} d x + \int_{0}^{3} 2 d x$

Этап 2

Пусть $u = x - 1$ . Тогда $d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = x - 1$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Этап 2.1.2

По правилу суммы производная $x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.1.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 2.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 2.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = x - 1$ .

$u_{lower} = 0 - 1$

Этап 2.3

Вычтем $1$ из $0$ .

$u_{lower} = - 1$

Этап 2.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = x - 1$ .

$u_{upper} = 3 - 1$

Этап 2.5

Вычтем $1$ из $3$ .

$u_{upper} = 2$

Этап 2.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = 2$

Этап 2.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{- 1}^{2} u^{2} d u + \int_{0}^{3} 2 d x$

Этап 3

По правилу степени интеграл $u^{2}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{3}]_{- 1}^{2} + \int_{0}^{3} 2 d x$

Этап 4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{3} u^{3}]_{- 1}^{2} + 2 x]_{0}^{3}$

Этап 5

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем значение $\frac{1}{3} u^{3}$ в $2$ и в $- 1$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 2^{3}) - \frac{1}{3} {(- 1)}^{3} + 2 x]_{0}^{3}$

Этап 5.2

Найдем значение $2 x$ в $3$ и в $0$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 2^{3}) - \frac{1}{3} {(- 1)}^{3} + (2 \cdot 3) - 2 \cdot 0$

Этап 5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Возведем $2$ в степень $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot 8 - \frac{1}{3} {(- 1)}^{3} + (2 \cdot 3) - 2 \cdot 0$

Этап 5.3.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $8$ .

$\frac{8}{3} - \frac{1}{3} {(- 1)}^{3} + (2 \cdot 3) - 2 \cdot 0$

Этап 5.3.3

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$\frac{8}{3} - \frac{1}{3} \cdot - 1 + (2 \cdot 3) - 2 \cdot 0$

Этап 5.3.4

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{8}{3} + 1 (\frac{1}{3}) + (2 \cdot 3) - 2 \cdot 0$

Этап 5.3.5

Умножим $\frac{1}{3}$ на $1$ .

$\frac{8}{3} + \frac{1}{3} + (2 \cdot 3) - 2 \cdot 0$

Этап 5.3.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{8 + 1}{3} + (2 \cdot 3) - 2 \cdot 0$

Этап 5.3.7

Добавим $8$ и $1$ .

$\frac{9}{3} + (2 \cdot 3) - 2 \cdot 0$

Этап 5.3.8

Сократим общий множитель $9$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.8.1

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$\frac{3 \cdot 3}{3} + (2 \cdot 3) - 2 \cdot 0$

Этап 5.3.8.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.8.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{3 \cdot 3}{3 (1)} + (2 \cdot 3) - 2 \cdot 0$

Этап 5.3.8.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 1} + (2 \cdot 3) - 2 \cdot 0$

Этап 5.3.8.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3}{1} + (2 \cdot 3) - 2 \cdot 0$

Этап 5.3.8.2.4

Разделим $3$ на $1$ .

$3 + (2 \cdot 3) - 2 \cdot 0$

Этап 5.3.9

Умножим $2$ на $3$ .

$3 + 6 - 2 \cdot 0$

Этап 5.3.10

Умножим $- 2$ на $0$ .

$3 + 6 + 0$

Этап 5.3.11

Добавим $6$ и $0$ .

$3 + 6$

Этап 5.3.12

Добавим $3$ и $6$ .

$9$

Этап 6